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Schnittgerade der Ebene mit der xy-Ebene

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: eben, Parameterform, Schnittgerade, Vektor

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itsana

itsana aktiv_icon

15:30 Uhr, 16.04.2014

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Ich habe eine Ebene und eine Gerade gegeben. Ich habe bis jetzt schon den Schnittpunkt der Ebene und der Geraden ausgerechnet. Jetzt soll ich die Parameterform der Schnittgeraden der Ebene mit der xy-Ebene bestimmen.

ε : X = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + u (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

g : X = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

Folgendes hab ich schon:

\vec{n} ε : (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

S (4 | 2 | 0)

Jetzt soll ich eben die Parameterform der Schnittgeraden der Ebene mit der xy-Ebene bestimmen:

xy-Ebene:

z = 0

2 x + 2 y = 12

Und weiter?

Danke im Vorraus,
itsana

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:50 Uhr, 16.04.2014

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Hallo Du suchst also

\vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + u (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

geschnitten mit

z = 0

das gibt doch die drei Gleichungen

x = 6 + u - v

y = 0 + 0 u + v

0 = 0 + 2 u + 0

aus der dritten Gleichung entsteht

u = 0

aus der zweiten Gleichung folgt

v = y

Beides eingesetzt in die erste Geichung ergibt

x = 6 - y

x + y - 6 = 0

bzw.

y = - x + 6

Dies ist die gesuchte Geradengleichung in der x-y-Ebene
;-)

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funke_61

funke_61 aktiv_icon

15:57 Uhr, 16.04.2014

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Ah,
Du suchst die Parameterform.
Nimm zwei Punkte dieser Gleichung:
Setze zuerst zB.

x = 0 :

(Ergibt

y = 6 \Rightarrow P (0 | 6 | 0)

Dann zB. noch

y = 0 :

(ergibt

x = 6 \Rightarrow Q (6 | 0 | 0)

Mit den gefundenen Punkten

P

und

Q

nun noch die Parametergleichung mit dem Parameter

s

im Raum aufstellen:

\vec{x} = \vec{p} + s (\vec{q} - \vec{p})

;-)

itsana

itsana aktiv_icon

15:58 Uhr, 16.04.2014

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Die Lösung hab ich, die soll so ausschauen:

s : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

Und mit deiner Lösung und der Lösung, die ich schon gegeben habe, komm ich trotzdem nicht auf den Lösungsweg???

Bin am verzweifeln

LG

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funke_61

funke_61 aktiv_icon

16:06 Uhr, 16.04.2014

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nicht verzweifeln :-)
Zuerst kontrollieren wir mal, ob die angegebene Lösung stimmt:
Punkt

(3 | 3 | 0)

soll ein Punkt der gesuchten Geraden sein.
Du hattest doch schon die Gleichung

2 x + 2 y = 12

"in der Ebene"

z = 0

gefunden, stimmts?
Jetzt setz' mal diesen Punkt in diese Gleichung(en) ein und untersuche ob sich wahre Aussagen ergeben
:-)

Frage beantwortet

itsana

itsana aktiv_icon

16:09 Uhr, 16.04.2014

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Ah danke! :-)

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funke_61

funke_61 aktiv_icon

16:12 Uhr, 16.04.2014

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Meine Lösung ist Deine Gleichungnur durch 2 geteilt:

2 x + 2 y = 12

"in"

z = 0

x + y = 6

"in"

z = 0

ok?
Kannst Du Dir nun vorstellen, wie die gesuchte Gerade in der x-y-Ebene aussieht?
Erkennst Du, dass sowohl

(3,3,0)

als auch meine beiden Punkte Elemente der gesuchten Geraden sind?

Frage beantwortet

itsana

itsana aktiv_icon

16:14 Uhr, 16.04.2014

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Jap, alles klar! :-)

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funke_61

funke_61 aktiv_icon

16:15 Uhr, 16.04.2014

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wunderbar :-)
und tschüß

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