 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Schnittgerade einer Ebene
Schnittgerade einer Ebene
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
|
anonymous 14:43 Uhr, 16.05.2006  |
|
|---|---|
|
Hi leute ich habe diese aufgabe als hausaufgabe auf...kann mir wer helfen? Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebene E mit der Ebene E1:X= (3/1/5)+r(2/-1/0)+s(-1/0/3) a) E=2x1-x2-x3=1 b) E=5x1+2x2+x3=6 wäre voll lieb |
|
| |
 |
|
|
Hallo, zunächst muß man entweder E in eine geeignete Form, die Parameterdarstellung, bringen oder E1 in die Koordinatendarstellung. Was man macht hängt davon ab, in welcher Form das Ergebnis erwartet wird. Gibt es dazu keine Vorgaben, würde ich E1 umwandeln, weil ich dann nur eine Umwandlung hätte und nicht zwei. Um nicht unnötig beide Wege oder gerade den falschen zu machen, wäre es schön, wenn Du da mal zusätzliche Angaben machen könntest. Wenn niemand anderes schneller ist, kann ich dann "über Nacht" die Lösung machen, falls das nicht zu spät ist. Aber egal, wer Dir helfen wird, sie/er braucht eine Vorgabe für die Form des Ergebnisses. |
|
|
|
|
|
hi danke für deine antwort jedoch sind das das die einzigen angaben die wir bekommen haben |
|
|
|
|
|
Hallo, also beginnen wir wie angekündigt mit der Umwandlung der Ebene E1 in Koordinatendarstellung. Für den Normalenvektor gilt: 2*n1-1*n2+0*n3=0 -1*n1+0*n2+3*n3=0 Das ist schon sehr schön in Diagonalform, so daß wir uns den Gauß schenken können. Wählen wir n1=3, so folgt: 2*3-1*n2=0 n2=6 und -1*3+3*n3=0 3*n3=3 n3=1 Ein Normalenvektor ist also (3/6/1) Die Koordinatenform erhalten wir durch ausrechnen/umformen der Gleichung (x-a)*n=0 , wobei x der Koordinatenvektor (x1/x2/x3) und a ein beliebiger Punkt (z.B. der gegebene Punkt (3/1/5) auf der Ebene) ist. Das "*" steht für das Skalarprodukt. Macht zusammen: (x1-3)*3+(x2-1)*6+(x3-5)*1=0 3*x1-9+6*x2-6+1*x3-5=0 3*x1+6*x2+1*x3=20 Das ist die Koordinatenform der Ebene E1. a) Die Schnittgerade ergibt sich als Lösung des folgenden inhomogenen Gleichungssystems. 3*x1+6*x2+1*x3=20 ; letzte Zeile addiert zu dieser Zeile 2*x1-1*x2-1*x3=1 ; bleibt so 5*x1+5*x2+0*x3=21 ; Zeile durch 5 geteilt 2*x1-1*x2-1*x3=1 ; bleibt so 1*x1+1*x2+0*x3=4,2 ; bleibt so 2*x1-1*x2-1*x3=1 ; erste Zeile addiert zu dieser Zeile 1*x1+1*x2+0*x3=4,2 ; bleibt so 3*x1-0*x2-1*x3=5,2 ; Zeile mit (-1) multipliziert 1*x1+1*x2+0*x3=4,2 -3*x1+0*x2+1*x3=-5,2 Dieses Gleichungssystem hat eine Lösung in (0/4,2/5,2). Zu dieser Lösung des inhomogenen Gleichungssystems kann man jede Lösung des homogenen Gleichungssystems: 1*x1+1*x2+0*x3=0 -3*x1+0*x2+1*x3=0 beliebig oft addieren. Die Lösungen des homogenen Gleichungssystems sind vielfache des Vektors (1/-1/3), den man findet indem man x1 beliebig setzt und die entsprechenden x2 und x3 dazu berechnet. Die Schnittgerade ist also: g:x=(0/4,2/5,2) + t*(1/-1/3) b) Die Schnittgerade ergibt sich als Lösung des folgenden inhomogenen Gleichungssystems. 3*x1+6*x2+1*x3=20 ; letzte Zeile subtrahiert von dieser Zeile 5*x1+2*x2+1*x3=6 ; bleibt so -2*x1+4*x2+0*x3=14 ; Zeile mit (-1/2) multipliziert 5*x1+2*x2+1*x3=6 ; bleibt so 1*x1-2*x2+0*x3=-7 ; bleibt so 5*x1+2*x2+1*x3=6 ; erste Zeile addiert zu dieser Zeile 1*x1-2*x2+0*x3=-7 ; Zeile mit (-1/2) multipliziert 6*x1+0*x2+1*x3=-1 ; bleibt so -0,5*x1+1*x2+0*x3=3,5 6*x1+0*x2+1*x3=-1 Dieses Gleichungssystem hat eine Lösung in (0/3,5/-1). Zu dieser Lösung des inhomogenen Gleichungssystems kann man jede Lösung des homogenen Gleichungssystems: -0,5*x1+1*x2+0*x3=0 6*x1+0*x2+1*x3=0 beliebig oft addieren. Die Lösungen des homogenen Gleichungssystems sind vielfache des Vektors (2/1/-12), den man findet indem man x1 beliebig setzt und die entsprechenden x2 und x3 dazu berechnet. Die Schnittgerade ist also: g:x=(0/3,5/-1) + t*(2/1/-12) |
|
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
463781
463778