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Schnittgerade einer Ebenenschaar

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Ebenenschar, Schnittgerade

DerSchueler aktiv_icon

11:56 Uhr, 02.02.2010

Hallo,

ich hab ein Problem beim Berechnen der Schnittgerade der Ebenenschar

(a)

Ich habe beispielhaft 2 Ebenen aufgestellt und dann jeweils 3 Punkte bestimmt um die Parameterform aufzustellen.
Dann habe ich die Nullgleichung gebildet und nach

a, b, c, d

aufgelöst.
Beim Einsetzen kommt ein Schnittpunkt herraus. Das ist falsch!

Wo liegt mein Fehler? Gibt es eine Möglichkeit das anders zu rechnen?

Vielen Dank

Anhang:
Aufgabe
Rechnung

ps: ICh verwende ein CAS System

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

12:44 Uhr, 02.02.2010

Hallo,

obwohl ich Deinen Lösungsweg noch nicht vollständig durchschaue, habe ich eine Idee, warum es so nicht geht. Ist Dir aufgefallen, dass die Normalengleichung Deiner Ebenenschar unabhängig von

x_{2}

(lt Aufgabenstellung wäre das

y)

ist? und kannst Du Dir vorstellen, wie sich das im Raum auswirkt?

Du könntest

z . B

. die in der der Aufgabenstellung gegebene Schnittgerade in die "Vektorielle Form der Normalengleichung" einsetzen:

(\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{n} = 0

(ich habe hier bewusst einen Vektor

\vec{b}

genommen, da der Buchstabe a hier schon als Parameter der Ebenenschar verwendet wird.)

grüsse, josef

DerSchueler aktiv_icon

12:59 Uhr, 02.02.2010

Also wenn cih die Gerade in die Ebene einsetze und nach a löse, bekomme ich

a = a

als Ergebnis. Aber was sagt mir das?

(a - 1) \cdot 6 + (5 + a) \cdot 5 - (19 + 11 a) = 0

a = a

Astor aktiv_icon

13:01 Uhr, 02.02.2010

Hallo,
du hast eine Ebenenschar gegeben. Eine Gerade s ist gegeben. Diese Gerade s soll Schnittgerade der Ebenenschar sein, also muss diese Gerade in jeder Ebene der Schar liegen.
Also zeige, dass die Gerade s in der Ebenenschar liegt.
Dazu musst du zeigen, dass der Richtungsvektor von s in der Ebenenschar liegt und auch der Aufpunkt.
Also einfach die Gerade s in die Ebenenschar einsetzen.

Gruß Astor

Astor aktiv_icon

13:03 Uhr, 02.02.2010

Wunderbar.
das bedeutet, dass die 0=0 sich ergibt. Also liegt s in jeder Ebene der Schar.

Gruß Astor

BjBot aktiv_icon

14:54 Uhr, 02.02.2010

"das bedeutet, dass die 0=0 sich ergibt."

Das sollte man aber schon etwas deutlicher auf den Punkt bringen bzw so nicht gerade in einer Klausur schreiben.

Entscheidend ist, dass sich nach dem Einsetzen der Geraden eine Gleichung ergibt, in der sich die a's wegheben und somit unabhängig von a immer eine wahre Aussage entsteht, die (Geraden)punktprobe also ohne Abhängigkeiten bzgl a gelingt und dadurch die Gerade in jeder Ebene der Schar liegt.

DerSchueler aktiv_icon

23:19 Uhr, 03.02.2010

Also bei

b)

treten weitere Probleme auf.

Den Winkel zwischen den Ebenen zu berechnen war nicht schwer.

n_{E_{0}} (- 1; 0; 5)

n_{E_{a_{0}}} (- 5; 0; 1)

cos (α) = \frac{n_{E_{0}} \cdot n_{E_{a_{0}}}}{| n_{E_{0}} | \cdot | n_{E_{a_{0}}} |}

67,4°

Ich habe jedoch keine Ahnung wie ich an die Winkelhalbierende Ebene herrangehen muss und wie ich das Problem lösen kann... Würde mich über Hilfe freuen :-)

funke_61 aktiv_icon

16:14 Uhr, 04.02.2010

Du hast Doch jetzt die zwei Normalenvektoren der sich in einer Gerade schneidenden Ebenen.

Wenn Du beide Normalenvektoren auf die Länge "eins" normierst, kannst Du durch eine kleine Skizze (Draufsicht; die Gerade nur als Punkt, und die Ebenen als Geraden) feststellen, dass eine Vektoraddition der beiden normierten Normalenvektoren zur Winkelhalbierenden Ebene führt.

Der Nachweis, dass die gegebene Ebene eine Winkelhalbierende Ebene ist, sollte sich wieder durch Einsetzen bzw. Gleichsetzen erbringen lassen.

Aber skizzier erstmal, und denk das ganze durch.
lg josef

BjBot aktiv_icon

18:43 Uhr, 04.02.2010

@ DerSchueler

Du musst diese winkelhalbierenden Ebenen ja nicht konkret aufstellen sondern nur zeigen, dass die Ebene W die Eigenschaften einer Winkelhalbierenden erfüllt.
Zum einen kannst du locker zeigen , dass wiederum die Gerade s in W liegt.
Und dann halt nur noch den Winkel von W mit E0 bzw Ea0 berechnen.
Die zweite Winkelhalbierende W' liegt senkecht zu W und muss wiederum die Geraden s enthalten, daraus kann man dann z.B. direkt eine Parameterform basteln.

DerSchueler aktiv_icon

21:31 Uhr, 04.02.2010

Hey,

danke für eure Ideen :-)

Also die Skizze habe ich nun hinbekommen und sie sieht auch gut aus.

@funke_61
Wie meinst du das mit der Vektoradition?

Also ich bilde den Einheisvektor von beiden Normalenvektoren.

(- 5; 0; 1) \Leftrightarrow (\frac{- 5 \sqrt{26}}{26}; 0; \frac{\sqrt{26}}{26})

(- 1; 0; 5) \Leftrightarrow (\frac{- \sqrt{26}}{26}; 0; \frac{5 \sqrt{26}}{26})

(\frac{- 5 \sqrt{26}}{26}; 0; \frac{\sqrt{26}}{26}) + (\frac{- \sqrt{26}}{26}; 0; \frac{5 \sqrt{26}}{26}) = (\frac{- 3 \cdot \sqrt{26}}{13}; 0; \frac{3 \cdot \sqrt{26}}{13}) \Leftrightarrow (- 1,17; 0; 1,17)

Aber der Normlenvektor der Winkelhalbierenden ist: bzw. der Einheisvektor:

(1; 0; - 1) \Leftrightarrow (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; \frac{- \sqrt{2}}{2})

Das sind ja nicht die gleichen Vektoren? habe ich dich falsch verstanden? Oder wir würde ich die Ebene Aufstellen? Das ist ja ganz spannend, fals man mal nicht die Winkelhalbierende Ebene schon gegeben hat.

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@BjBot

Also erst die Gerade einseten:

s : \vec{r} = W

5 \cdot 6 - 5 - 25 = 0

0 = 0

S

liegt in der Ebene

W

Winkelbrechnung zwischen

E_{a_{0}}

und

W

n_{1} (- 5; 0; 1)

n_{2} (1; 0; - 1)

\to

Winkel

180 - 146,3099 = 33,69 \Leftrightarrow \frac{67,4}{2}

Somit is es die Winkelhalbierende Ebene :-)

Erstellen von

W'

Also

s

ist teil von

W'

Also

W' : (6; 4; 5) + a (0; 1; 0) + b (1 : 0 : - 1)

Kann ich als 2. Richtungsvektor den Normalenvwektor der Ebene

W

nehmen?

habe ich

W'

richtig aufgestellt?

DerSchueler aktiv_icon

22:06 Uhr, 04.02.2010

kommen wir zu

c)

Also ich habe ein funktionierendes Verfahren, aber ich würde gerne wissen, ob es auch einfacher, bzw. schneller geht.

1. Einen Punkt

P

der Ebene

W

bestimmen

P (2; 0; 1)

2. Punktprobe mit

s,

P

nicht auf

s

liegen darf.

\to

keine Lösung
3.

P \in E_{a}

einsetzen und a ausrechnen

\to a = - 2

BjBot aktiv_icon

22:18 Uhr, 04.02.2010

zu b) sieht gut aus =)

zu c) Nenne doch mal die Schar dann könnte ich dir das evtl besser zeigen als es jetzt nur allgemein zu formulieren.

DerSchueler aktiv_icon

22:23 Uhr, 04.02.2010

E_{a} : (a - 1) x + (5 + a) z - (19 + 11 a) = 0

bei "2a" haben sie sich in der aufgabe wohl berschrieben.

W : x - z - 1 = 0

W' : x + z - 11 = 0

DerSchueler aktiv_icon

22:31 Uhr, 04.02.2010

nun bin ich bei

d)

Q'

habe ich richtig berechnet:

Q' (- 4; 3; 3)

Tangentialebene bedeutet doch, dass der Radius Der Abstand zwischen

Q'

und

W

ist.
Den habe ich schon für die Spiegelung berechnet:

4 \sqrt{2}

Also ist

K : (x_{1} - - 4) + (x_{2} - 3) + (x_{3} - 3) = {(4 \sqrt{2})}^{2}

d)

müsste ich damit auch richtig gelöst haben.

Bei

e)

habe ich leider mal wieder keine Ahnung und bräuchte einen Denkanstoß :-)

BjBot aktiv_icon

22:39 Uhr, 04.02.2010

zu c)

Eben diese Schar passt ja dann nicht, denn wenn W in Ea liegen würde und man sich allein mal den Faktor vor dem x in der Schar ansieht, dann müsste ja a=2 gelten.
Aber dann müsste der Faktor vor dem z ja 5+2 also 7 sein und das passt ja nicht denn in W ist es ja -1(z).
Insofern handelt es sich wohl doch um eine Schar aus einer früheren Aufgabe.

DerSchueler aktiv_icon

22:48 Uhr, 04.02.2010

Also bei

c

habe ich

W

und

E_{a}

richtig abgetippt.

E_{a} : (a - 1) x + (5 + a) z - (19 + 11 a) = 0

W : (1 : 0 : - 1) \vec{r} - 1 = 0

a_{W} - 1 = - (5 + a_{W})

a_{W} = - 2

- 3 x + 3 z + 3 = 0

x - z - 1 = 0 \to W

Das steht in der Lösung. Du kannst damit bestimmt etwas anfangen. Ich weiß nicht, wie die Auf diese kurze Gleicung kommenn....

BjBot aktiv_icon

23:03 Uhr, 04.02.2010

Ah ok, dann kann man glaub ich nicht so wie ich argumentieren weil das a überall auftaucht und man zur Not auch durch Kürzen auf die entsprechenden Koeffizienten kommt.
In der Lösung nimmt man darauf Bezug, dass in W:x-z-1=0 der Faktor vor dem x genau der negative von z ist, deswegen entsprechend auf Ea bezogen (a-1)=-(5+a)
Man könnte das genauso mit dem Faktor vor dem x und der konstanten -1 bei W machen denn dann muss gerade a-1=19+11a gelten, was genauso auf a=-2 führt.

funke_61 aktiv_icon

09:59 Uhr, 05.02.2010

Zum Normalenvektor der Winkelhalbierenden (Deine Frage von

21 : 31

Uhr,

04.02.2010) :

"Das sind ja nicht die gleichen Vektoren? habe ich dich falsch verstanden?"

(\begin{matrix} \frac{- 3 \cdot \sqrt{26}}{13} \\ 0 \\ \frac{3 \cdot \sqrt{26}}{13} \end{matrix}) = α (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

mit

α = \frac{- 3 \cdot \sqrt{26}}{13}

Beim Normalenvektor einer Ebene kommt es eben nicht auf die Länge an. Nur die Richtung entscheidet über die Lage der Ebene im Raum. (vergleiche auch Hesse-Normalenform, die sich ja nur in der Länge des Normalenvektors von der zugehörigen "original"-Ebenengeichung unterscheidet)

Für die Definition der (winkelhalbierenen) Ebene in Normalenform braucht man doch den Normalenvektor und einen belibigen Punkt der (winkelhalbierenden) Ebene.
Winkelhalbierende Ebenen gibt es in dieser Situation (auch wenn man den Parameter a mitzieht), zwei verschiedene (evtl. in Abhängigkeit von

a)

und diese beiden stehen SENKRECHT aufeinander, wie sich durch eine kleine Skizze leicht beweisen lässt.
Also sollten auch die Normalenvektoren der beiden winkelhalbierenden Ebenen senkrecht aufeinander stehen. Damit verschindet das Skalarprodukt dieser beiden Normalenvektoren:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 1 + 0 - 1 = 0 .

Dies sollte sich mit beliebigen Normalenvektoren dieser beiden winkelhalbierenen Ebenen zeigen lassen, zB:

(\begin{matrix} \frac{- 3 \cdot \sqrt{26}}{13} \\ 0 \\ \frac{3 \cdot \sqrt{26}}{13} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{- 3 \cdot \sqrt{26}}{13} + 0 + \frac{- 3 \cdot \sqrt{26}}{13} = 0

lg josef

DerSchueler aktiv_icon

14:04 Uhr, 05.02.2010

Ihr seit mir eine super Hilfe :-)
mit euch löse ich nicht nur die Aufgaben, sondern verstehe die Lösungsverfahren so gut, dass ich sie auch bei anderen Aufgaben anwenden kann. Das ist echt super von euch, das ihr euch die Zeit nehmt und anderen bei ihren mathematichen Problemen helft.
Daumen hoch!

lg DerSchueler

DerSchueler aktiv_icon

14:04 Uhr, 05.02.2010

funke_61 aktiv_icon

14:41 Uhr, 05.02.2010

Danke, schön wenns Dir weiterhilft
josef

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