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Schnittgerade zweier Ebenen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Verständnis

MatHimmel aktiv_icon

15:17 Uhr, 20.10.2010

Hi Leute,

Ich versuche gerade die Schnittgerade zweier Ebenen zu errechnen.
Im Internet habe ich zwar schon verwertbare Lösungen gefunden, die unterscheiden sich
aber von denen, die ich bisher im Unterricht durchgenommen habe. Daher wollte ich
die Lösung auch noch einmal auf dem *herkömmlichen* Weg bekommen.

Es ist vielleicht ein wenig zu aufwendig, meinen ganzen Rechenweg aufzuschreiben, daher
fange ich bei der Matrix an (ich habe die beiden Ebenen gleichgesetzt):

1 1 -7 -3 -3
-2 2 3 5 1
-2 2 -5 - 4 -1

So und jetzt habe ich ein Problem... Mir ist nur klar, dass ich eben 4 Unbekannte bei nur 3 Gleichungen habe, sprich ich muss eine unbekannte von einer anderen abhängig machen. Aber mir fehlt der Ansatz wie ich jetzt weiterzumachen habe.

Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte :-)

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

kalli

21:21 Uhr, 20.10.2010

Hallo,
Mit Deiner Matrix kann ich leider nicht viel anfangen, da hier nicht viel zu erkennen ist.
Du hast, wie Du richtig erkannt hast 4 Unbekannte und nur drei Gleichungen. Damit hat das LGS unendlich viele Lösungen und einen Freiheitsgrad ( eine Gleichung fehlt). Damit ist das Ergebnis eine Gerade, die ja auch nur einen Freiheitsgrad hat (das

λ

oder wie auch immer der Parameter genannt wird).

Du musst nun das LGS so umformen, dass Du in Dreiecksgestallt die Nullen erzeugst.
Dann kannst Du die anderen Parameter in Abhängigkeit des parameters ausrechnen.
Wenn Du für die eine Ebene die Parameter

k

und

l

hast und Du

k

in Abhängigkeit von

l

ausdrücken kannst, beispielsweise

k = 2 - l),

dann kannst Du

k

durch

2 - l

ersetzen, in die Ebene einsetzen und dann kannst Du das Ergebnis in eine Gerade umformen.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:26 Uhr, 20.10.2010

Hallo,

wieso führt ein Schnittproblem zweier Ebenen auf drei Gleichungen mit vier Unbekannten?

Es sollten zwei Gleichungen mit drei Unbekannten sein, oder?

Gruß

Stephan

kalli

22:12 Uhr, 20.10.2010

Wenn man mit Ebenen in Parameterform arbeitet, hat man leider 4 Unbekannte. Ist zwar umständlicher zu berechnen, funktioniert aber auch.

Mathe-Steve aktiv_icon

22:24 Uhr, 20.10.2010

Nur, warum sollte man das tun - bloß weil man es kann, oder eben doch nicht?

kalli

22:34 Uhr, 20.10.2010

Wenn man im Unterricht noch keine Koordinatenform kennengelernt hat, bleibt nunmal keine andere Möglichkeit.

Mathe-Steve aktiv_icon

22:38 Uhr, 20.10.2010

Ach so, das ist vermutlich Pädagogik oder Didaktik in der Mathematik ;-)

MatHimmel aktiv_icon

23:03 Uhr, 20.10.2010

Könntest du mir eventuell die Lösung sagen?
Hier die beiden Ebenen: E1:x= (2;-3;0) + s(1;-2;-2) + t(1;2;2)
E2:x= (-1;4;-1) + u(7;-3;5) + v(3;-5;4)

kalli

23:09 Uhr, 20.10.2010

Die Lösung hast Du doch schon,wie Du geschrieben hast.
Stelle doch mal das LGS auf und bring es auf Dreiecksform. Dann schauen wir weiter.

Mathe-Steve aktiv_icon

23:12 Uhr, 20.10.2010

Die Gleichungen von E1 und E2 passen nicht zur obigen Matrix!

MatHimmel aktiv_icon

23:20 Uhr, 20.10.2010

War nicht ganz korrekt meine Gleichung von oben, hier die müsste aber stimmen,
krieg die matrix leider nicht besser hin

1;1;-7;-3=-3
-2;2; 3; 5= 7
-2;2;-5;-4= 1

Dann I * 2: I+II; I+III

1;1; -7; -3=-3
0;4;-11; -1= 1
0;4;-19;-10=-5

Dann II * -1: II+III

1;1; -7; -3=-3
0;4;-11; -1= 1
0;0; -8; -9=-6

Das meintest du doch mit Dreieckform oder?
Aber wie mach ich das jetzt voneinander abhängig?
Durch -8 teilen?
Dann kommt dabei u = [(3/4) - (9/8)*v]

kalli

23:31 Uhr, 20.10.2010

Sehr schön,
so hab ich das gemeint. Rechenfehler hab ich jetzt nicht gesucht. Das wirst Du schon können.
Du hast:

8 \cdot u - 9 \cdot v = - 6

Damit ergibt sich

u = \frac{9 \cdot v - 6}{8} = \frac{9}{8} \cdot v - \frac{3}{4}

.
Dies kannst Du nun in die Ebene einsetzen:

E_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) + (\frac{9}{8} \cdot v - \frac{3}{4}) (\begin{matrix} 7 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) + \frac{3}{4} \cdot (\begin{matrix} 7 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + (\frac{9}{8} \cdot v) (\begin{matrix} 7 \\ - 3 \\ 5 \end{matrix}) + v (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix})

.

Nun kannst Du zusammenfassen und hast die Gerade.

MatHimmel aktiv_icon

23:42 Uhr, 20.10.2010

Da muss aber irgendwo ein Fehler sein und genau den finde ich einfach nicht...

Als Endergebnis soll: g:x= (-6;-3;0)+ s(3;1;1) rauskommen...

Wie kriegst du eigentlich so schöne Matrizen und so weiter hin? :-)

kalli

00:00 Uhr, 21.10.2010

Hallo,
schöne Formatierungen erhälst Du, wenn Du auf "Wie schreibt man Formeln" klickst. Das Fenster habe ich immer offen.

Einen Fehler hast Du beim ABSCHREIBEN gemacht. Der letzte Eintrag in der Formel müsste

- 1

statt 1 heißen, wenn ich mich da nicht vertan habe.

LG

MatHimmel aktiv_icon

00:08 Uhr, 21.10.2010

Hm... Da hast Du recht.
Aber das ändert leider am Gesamtbild nichts, da kommt einfach etwas grundverschiedenes
raus am Ende. Da werde ich mich wohl noch mal einarbeiten müssen, ich schau mir noch mal andere Aufgaben dieser Art an. Vielleicht hatte ich ja nur bei dieser Aufgabe ein Brett vor dem Kopf.
Dennoch find ich es immer demotivierend, eine Aufgabe nicht gelöst zu kriegen

: (

Aber vielen Dank Dir noch einmal für Deine Hilfe.

Lg
MatHimmel

maxsymca

00:14 Uhr, 21.10.2010

Nun ja, das muss ja nicht notwendig falsch sein. Parameterformen sind nicht eindeutig.
Ich erhalte

z . B

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{5}{3} \\ - \frac{4}{9} \\ \frac{23}{9} \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} \frac{13}{3} \\ \frac{13}{9} \\ \frac{13}{9} \end{matrix})

was man erst hübschen muss, um auf Dein Ergebnis zu kommen

t = - \frac{23}{13}

ergibt DEinen Ortsvektor und den Richtungsvektor kannst Du auch mit einem Faktor auf Deine Lösung anpassen...

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00:19 Uhr, 21.10.2010

Das versteh ich jetzt leider nicht genau.
Komisch, dass offensichtlich jeder ein anderes Ergebnis bekommt.
Wie gesagt, ich habe die Lösung der Aufgabe und die lautet:

g : x = (- 6; - 3; 0) + s (3; 1; 1)

kalli

00:28 Uhr, 21.10.2010

Der Richtungsvektoren sind ja bis auf den Faktor

\frac{13}{9}

gleich.
Die Vektoren haben also die gleiche Richtung.

Nun musst Du noch prüfen, ob der Punkt

(- 6; - 3; 0)

auf der Geraden von maxsymca liegt. Dann sind die Geraden identisch.

MatHimmel aktiv_icon

00:39 Uhr, 21.10.2010

Tatsache! Somit sind die beiden Geraden identisch. Allerdings ist da meine Frage:
Muss sowas sein? Ich mein so krumme Ergebnisse etc... Außerdem: Ich habe mich mit der Koordinatenform von Ebenen auseinandergesetzt, die wir noch nicht besprochen haben in der Schule und damit gehts viel einfacher. Ich seh da letztlich keinen Sinn drin, ich probiere hier tagelang diese Schnittgerade auszurechnen und scheiter immer wieder an den Zahlen, obwohl ich das Prinzip verstanden habe. Deswegen frage ich mich, ob es nicht auch mit der Parameterform einfacher geht?

Danke an alle für die Hilfe :-)

kalli

00:48 Uhr, 21.10.2010

Das lösen von LGS ist immer problematisch. Man kann versuchen, die Ebene schöner darzustellen

d . h

. so viele Nullen wie möglich in der Parameterform zu erhalten.

Dann ist das Lösen des LGS einfacher. Allerdings wirst Du um das Rechnen nicht ganz herumkommen. Du hast nunmal 4 Unbekannte. Vereinfachungen gehen da eigentlich nur mit Überlegungen, die der Koordinatenform nahe kommen. Mir ist zumindest keine sonstige Vereinfachung bekannt.

Auf jeden Fall ist das Rechnen hier eine sehr gute Übung und kommt Dir später sicherlich zu Gute. Üben macht schnell und eine Klausur läuft unter Zeitdruck.

LG und frohes Rechnen.

MatHimmel aktiv_icon

00:51 Uhr, 21.10.2010

Danke, letztendlich macht das ja auch einen gewissen Reiz an Mathe aus, nur der kann schnell in Frust umschlagen ;-)

Ich seh die Frage dann als gelöst an.
Vor allem großen Dank an kalli!

lg
MatHimmel

maxsymca

10:48 Uhr, 21.10.2010

Vielleicht noch ein Hinweis zur Klärung

E 1 = E 2

führt zu

(\begin{matrix} s + t - 7 \cdot u = - 3 + 3 \cdot v \\ - 2 \cdot s + 2 \cdot t + 3 \cdot u = 7 - 5 \cdot v \\ - 2 \cdot s + 2 \cdot t - 5 \cdot u = - 1 + 4 \cdot v \end{matrix})

und die Matrix

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 7 & - 3 + 3 \cdot v \\ - 2 & 2 & 3 & 7 - 5 \cdot v \\ - 2 & 2 & - 5 & - 1 + 4 \cdot v \end{matrix})

Nun kann man in Erwartung einer Geraden als Schnittmenge ja das GLS mit 3 der 4 Laufparameter betrachten - ich hab

z . B

v

mit auf die rechte Seite der Gleichungen genommen und löse nun das GLS für

s, t, u

und führe

v

auf der rechten Seite mit.
Je nachdem welchen Parameter Du mitführst, erhälst Du unterschiedliche Darstellungsformen für die Gerade...
Das Ergebnis IST dann die Schnittgerade, Du musst ja nur den anderen Paramter

u

der Ebene bestimmen der nicht mitgeführt wurde (das GLS nicht vollständig lösen), einsetzen und zusammen fassen...

MatHimmel aktiv_icon

15:51 Uhr, 21.10.2010

Ach, so machst man das also. Ist auf jeden Fall eine sehr gute Methode.
Dass man das LGS nicht ganz lösen muss, hatte ich noch irgendwo im Hinterkopf.

Vielen Dank dafür noch einmal

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