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Schnittgerade zweier Ebenen in Parameterform

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: hallo alle zusammen :)

mofresh aktiv_icon

18:03 Uhr, 15.03.2015

Ich versuche die Schnittgerade zweier Ebenen in der Parameterform zu errechen, bekomme es nicht hin. Für die Aufgabe 4 habe ich einen Lösungsweg, bin mir aber nicht sicher ob es richtig ist. Ich weiß nicht wie ich nach der Matrix weiter arbeiten soll. Für Aufgabe 5 habe ich keinen Ansatz.

Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.

E_{1}

\vec{x}

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})

r (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

s (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

E_{1}

\vec{x}

(\begin{array}{rcl} 2 \\ 3 \\ 2 \end{array})

r (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})

s (\begin{array}{rcl} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

Lösungsweg
Erstmal habe ich die Vektoren Gleichgesetzt. Dann in die Matrix Form getan.

1 1 0 -2 |1
0 1 -1 -1 |3
0 0 -1 0 |-1

(Die sind in Klammern die Zahlen und die | Striche sollen einen ganz langen Strich darstellen.
Sorry wusste nicht wie das geht)

Aufgabe 5
Die Schnittgeraden einer Ebenen E mit den Koordinatenebenen heißen die Spurgeraden von E. Bestimmen sie Parameterdarstellungen der drei Spurgeraden der Ebene

E :

\vec{x}

(\begin{array}{rcl} - 8 \\ - 4 \\ - 4 \end{array})

+ s

(\begin{array}{rcl} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array})

+ t

(\begin{array}{rcl} 4 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

Es wäre nett wenn ihr mir helfen könnt :-)

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michael777 aktiv_icon

20:09 Uhr, 15.03.2015

deine Matrix ist richtig
die erste Spalte ist

r,

die zweite

s

die dritte

r

von der zweiten Ebene, die vierte

s

von der zweiten Ebene. Ich würde die Parameter der zweiten Ebene umbenennen,

z . B

t

anstelle von

r, u

anstelle von

s

die Matrix lässt sich so umformen

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix})

die vierte Spalte wird Parameterspalte

damit erhält man folgende Lösung:

r = - 3 + p

s = 4 + p

t = 1

u = p

t = 1

und

u = p

in die Parameterform von

E_{2}

einsetzen:

\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

vereinfacht:

\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) + p (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

das ist die Gleichung der Schnittgeraden

vermutlich wäre es einfacher gewesen, wenn du beide Ebenengleichungen zunächst in die Koordinatenform umgerechnet hättest und dann das Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen gelöst hättest

bei Aufgabe

5)

zunächst die Ebenengleichung in die Koordinatenform umrechnen und dann die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) berechnen. Anschließend dann die Verbindungsgeraden durch jeweils zwei dieser Punkte aufstellen

mofresh aktiv_icon

23:13 Uhr, 16.03.2015

Danke sehr, hast mir echt weiter geholfen :-) :-)

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