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Schnittkurve einer Ebene und eines Kegels
Universität / Fachhochschule
Körper
Relationen
Tags: eben, Kegel, Körper, Relation., Schnittgerade, Schnittkreis
 
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Guten Tag, ich muss die Schnittkurve zwischen einer bekannten Ebene und einem bekannten Kegel ermitteln. Bei meinem Problem geht es primär um den Kegel, daher werde ich nur dessen Parameter listen: - Radius - Höhe - Grundkreis auf x-y-Ebene - Mitte im Ursprung Eine (selbst erstellte) Visualisierung folgt im Anhang. Mein Ansatz um die Schnittkurve zu ermitteln ist, die Gleichungen der Ebene und des Kegels zu verrechnen. Falls es hierbei um eine Kugel anstatt um einen Kegel ginge, so könnte man die Gleichung verwenden (also die Koordinatenform). Ich habe jedoch keinen Ansatz, wie ich die Koordinatenform des Kegels ermitteln kann. Über Hilfe bei diesem Problem würde ich mich sehr freuen.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Volumen und Oberfläche eines Kegels |
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Hallo, ich weiß mit deinen Angaben nicht soviel anzufangen: Ein (gerader Doppel-)Kegel hat folgende Gleichung: Der Parameter sorgt nun für in Stauchen () bzw. Strecken (). (Negative Werte bewirken keine Veränderung gegenüber ihren betragsgleichen positiven Werten.) Soll ich das so verstehen, dass ein beliebiger Parameter ist? Was soll bedeuten? Bezieht sich das ganze auf den Kegel? Ein (Doppel-)Kegel ist ja zunächst einmal unbeschränkt, sodass sich sein Radius nicht sinnvoll angeben lässt. Oder geht es um einen Kegel, dessen -Koordinaten zusätzlich irgendwie beschränkt sind? Unabhängig von alledem hängt die Art des Kegelschnitts eigentlich nur von der Winkeldifferenz des Neigungswinkels der Ebene gegenüber der Achse des Kegels zu dem halben Öffnungswinkel ab. Vielleicht brauchst du nur (max.) 5 Schnittpunkte, um den Kegelschnitt berechnen zu können?! Mfg Michael EDIT: Strecken und Stauchen angepasst |
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Hallo Michael, ja, ist ein beliebiger Parameter. Anhang der Aufgabe soll eine Matlab Funktion erstellt werden, die als Parameter bekommt und daraus eine endsprechende Grafik zeichnet. kann also etc. sein. Der Radius des Kegels soll an der Stelle sein wo der Kegel die x-y-Ebene schneidet. Der Kegel ist also quasi durch die x-y-Ebene nach unten beschränkt. Von der x-y-Ebene aus soll der Kegel bis zur Spitze eine höhe von haben. Das Verhältnis von Radius zu Höhe soll also betragen. Die Ebene ist auch abhängig von sodass die Schnittkurve immer (2-Dimensional gesehen) eine Ellipse darstellt. Die größe der Ellipse ist somit von abhängig, die Form der Ellipse allerdings nicht. Bei ähnlichen Beispielen in der Vorlesung (mit Kugeln) wurde die Koordinatenform verwendet. Somit würde eine Lösung mit 5 Schnittpunkten meinen Professor vermutlich nicht zufrieden stellen. Die von dir erwähnte Gleichung ist Interessant, ich bin mir aber nicht sicher, wie ich diese zurechtlegen kann, dass sie meinen Kegel darstellt. Kannst du mir dabei noch weiter helfen? LG Hans |
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Hm, hilft Dir das weiter? Erstmal nur die eine Hälfte....  |
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Moin, ich habe ein wenig mit der Gleichung von Michael herumprobiert und konnte sie doch noch selber auf meine Bedürftnisse zuschneiden: . Vielen Dank hierfür. Somit ist meine Problem fürs erste gelöst. Ebenfalls vielen Dank an maxsymca für die Grafik (und die alternative Schreibweise der Kegelgleichung). Sie wird mir helfen, die Aufgabe zu lösen. Vielen Dank! |
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Ich glaube nicht, dass Deine Kegelgleichung hin kommt - schau mal mein Beispiel genauer an? Kegel Radius r, Höhe 4r? BTW: wir verwenden die gleiche Kegelgleichung... |
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Moin maxsymca, unsere Gleichungen sind gleich: Oder habe ich etwas übersehen? LG Hans EDIT: vergessen |
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Naja, das kann man stehen lassen, die Gleichung weiter oben aber nicht ;-) x^2+y^2=(0.25z-R)^2 |
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Moin, mich würde noch Interessieren, wo ihr die Kegel-Gleichung her habt. Formelsammlung? Wikipedia? Link? Ich konnte sie nirgends finden. LG Hans |
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Siehe unter Quadrik R^3 z.B. www.geogebra.org/m/pempffkx |
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Moin maxsymca, ich sehe den Unterschied nicht, abgesehen davon, dass ich ins Spiel gebracht habe um den Kegel nach oben/unten zu verschieben. Bei Geogebra passt das auch (siehe Anhang). LG Hans EDIT: Es geht um die Gleichung bzw. dein Kommentar von Uhr  |
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Ich hab R=4r im Kopf gehabt, dann passt alles - mein Fehler... Dazu ein Bild update. wozu brauchst Du r UND R einmal Radius genügt nicht?  |
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. Ein Kegelschnitt ist eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines Doppelkegels mit einer Ebene schneidet. wenn du zB googelst mit Kegelschnitte dann bekommst du doch jede Menge Informationen über die möglichen Schnittfiguren usw,.. (zB: wann gibt es jeweils eine dieser Schnittfiguren: Punkt, Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) Vielleicht hilft dir dieser Vorschlag dazu dein Problem etwas in Griff zu bekommen ? . |
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Moin rundblick , vielen Dank für deinen Hinweis, aber ich habe das Problem bereits im Griff. Das Problem war, dass ich die Koordinatengleichung des Kegels nicht aufstellen konnte. Dies habe ich nun geschafft. Ich glaube ich hatte vorhin vergessen das Thema zu schließen. Sollte jetzt verbessert sein. LG Hans |
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Moin maxsymca, wo verwende ich denn ? So wie ich das sehe habe ich nur bei der Aufgabenstellung genutzt um die Parameter des Kegels zu definieren (also dass der Radius gleich der Variable sein soll). In meinen Gleichungen verwende ich eigentlich nur . LG Hans EDIT: den denn |
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Hallo, ich hschalte mich nochmal ein, selbst wenn ich dir bei MatLab nicht helfen kann. Die Gleichung habe ich mir selbst überlegt, wobei sie ja nur auf Kegel zutrift, deren Achsen senkrecht zur -Ebene sind. Mir fällt auf, dass der (halbe Öffnungs-)Winkel deiner Kegel stets gleich ist (Quotient aus Radius und Höhe ist konstant und gleich dem Tangens des halben Öffnungswinkels). Wenn ich das richtig verstehe, ist die Spitze des Kegels bei zu finden. Läge sie im Ursprung, so hättest du die Gleichung Verschiebst du nun noch in Richtung um , so führt das zur Gleichung (Habe es nicht ganz verfolgt, aber ihr scheint euch ja sicher zu sein, die korrekte Gleichung gefunden zu haben. Vielleicht ist es ja diese?!) Wenn wir jetzt noch wüssten, wie das mit der Ebene ist, dann könnten wir dir weiterhelfen. Wenn es nur um die Art des Kegelschnitts geht (Ellipse?), dann würde es reichen, wenn wir den Normalenvektor hätten. Er schließt mit der Achse des Kegels einen Winkel ein. Liegt der bei 90°, ist der Schnitt ein Kreis. Ist der weniger als 90°, aber größer als der halbe Öffnungswinkel (in deinem Fall ), so ist der Schnitt eine Ellipse (im Falle, dass die Ebene die Spitze enthält, ist es eine entartete Ellipse: ein einziger Punkt). Sind halber Öffnungswinkel und Winkel der Ebene gegenüber der Achse gleich, so ergeben sich Parabeln (im Entartungsfall eine Gerade). Liegt der Winkel unter diesem, aber oberhalb von Null, so ergeben sich Hyperbeln und schließlich im Falle genau 0 zwei sich schneidende Geraden. Reicht dies zur Klassifikation? Mfg Michael |
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Moin Michael, danke für deine ausgiebige Antwort. Eigentlich habe ich die Ebene geheim gehalten, weil mein Problem (die Kegel-Gleichung herauszufinden) wenig damit zu tun hat. Ich stelle sie nun gerne aber noch mal rein (auch wenn ich keine weitere Hilfe brauche; wilkommen ist sie natürlich dennoch): Koordinatenform der Ebene: Ein Bild ist im Anhang.  |
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Moin Michael, zu deiner Gleichung: Du scheinst da die Klammern vergessen zu haben. So passt es: Und somit oder . LG Hans |
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