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Schnittkurve von Zylinder und Kugel

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Gleichungssystem

 
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timo1902

timo1902 aktiv_icon

07:00 Uhr, 18.07.2012

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Hallo,
für eine Projektaufgabe im Studium muss ich die Parameterdarstellung der Schnittkurve ermitteln, die aus dem Schnitt eines Zylunders(Radius 0,5⋅R) und einer Kugel (Radius R) entsteht. Der Zylinder schneidet im Achsabstand a=0,5⋅r die Kugel(ähnlich wie bei der Viviani Kurve(a=r), nur zur Kugelachse hin verschoben). Die Parametergleichung der Kurve erhält man indem man die der Kugel und des Zylinder gleichsetzt, drei der vier Parameter eliminiert und dann in die Zylindergleichung(!!!) einsetzt. Dabei habe ich meine Probleme:


Kugel: x=r⋅cos(u1)⋅sin(v1);y=r⋅sin(u1)⋅sin(v1);z=r⋅cos(v1)
Zylinder: x=r⋅cos(u2),y=r⋅sin(u2),z=v2

Durch Gleichsetzen erhält man:

R⋅cos(u1)⋅sin(v1)=0,5⋅R⋅(1+cos(u2)
R⋅sin(u1)⋅sin(v1)=0,5R⋅sin(u2)
R⋅cos(v1)=v2

Z wäre durch einsetzen: z=r⋅R⋅cos(v1)=0,5⋅R2⋅cos(v1) wenn ich das richtig sehe, aber wie löse ich das restliche Gleichungssystem, sodass ich in der Zylindergleichung später auch in der x- und y-Gleichung den Parameter v1 stehen habe????

bild

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
maxsymca

maxsymca

09:22 Uhr, 18.07.2012

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Was Du als Kugel angibst ist ein Doppel-Kegel, wenn ichs aufmale?
timo1902

timo1902 aktiv_icon

12:58 Uhr, 18.07.2012

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oh Sorry ich korrigiere:

Die Kugelgleichung ist:

x=R⋅sin(u1)⋅cos(v1)
y=R⋅sin(u1)⋅sin(v1)
z=R⋅cos(u1)

Zylinder:

x=r⋅cos(u2);
y=r⋅sin(u2);
z=v2;

Es folgt durch Gleichsetzen:

R⋅sin(u1)⋅cos(v1)=0,5⋅R⋅cos(u2)
R⋅sin(u1)⋅sin(v1)=0,5⋅R⋅sin(u2)
R⋅cos(u1)=v2

Wie löse ich dieses Gleichungssystem, damit ich den übrigen Parameter in die Zylindergleichung einsetzen kann????


Antwort
maxsymca

maxsymca

13:25 Uhr, 18.07.2012

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OK, jetztla...
Obwohl ich Parameterkugeln anders in Erinnerung habe.
Grundsätzlich würde ich die Gleichungen zum Rechnen in parameterfreie Koordinatenformen wandeln:
Kugel-Zylinder = Schnittebene(n)
Schnittebenen mit Kugen schneiden ergibt Schnittkreise, die notwendigerweise als Parameterformen anfallen...
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