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Schnittlinie Durchdringung zweier Zylinder

Universität / Fachhochschule

Tags: Durchdringung, Zylinder

7h0ma5 aktiv_icon

22:03 Uhr, 04.09.2014

Mir wurde folgende Aufgabe gestellt:

Gegeben sind zwei Zylinder mit unterschiedlichen Radien.
Der dünnere durchstösst den breiteren rechtwinklig und ohne Versatz.

Die Schnittlinie kann folgend beschrieben werden:

x = r 2 \cdot cos (φ)

y = r 2 \cdot sin (φ)

z = \sqrt{r 1^{2} - r 2^{2} {sin}^{2} (φ)}

Gesucht sind nun die Koordinaten der Punkten, welche auf der Schnittlinie liegen und zueinander den gleichbleibenden Abstand

s

aufweisen.

Mein Ansatz ist folgender:

Der Abstand der Punkte kann annäherungsweise so bestimmt werden (was für meine Anwendung ausreichend ist):

s = \sqrt{{(x 2 - x 1)}^{2} + {(y 2 - y 1)}^{2} + {(z 2 - z 1)}^{2}}

Nun wird der erste Punkt festgelegt:

φ = 0

daraus folgt:

x 1 = r 2

y 1 = 0

z 1 = r 1

Der zweite Punkt sollte nun durch folgende Gleichung bestimmt werden können:
(Einsetzen der Punkte in Gleichung des Abstandes)

s = \sqrt{{(x 2 - r 2)}^{2} + {(y 2 - 0)}^{2} + {(z 2 - r 1)}^{2}}

(Einsetzen Gleichung der Schnittline)

s = \sqrt{{(r 2 \cdot cos (φ) - r 2)}^{2} + {(r 2 \cdot sin (φ))}^{2} + {(\sqrt{r 1^{2} - r 2^{2} {sin}^{2} (φ)} - r 1)}^{2}}

Nun sollte nach

φ

aufgelöst und mithilfe der Schnittliniengleichung der zweite Punkt berechnet werden können.
Leider komme ich bei diesem Schritt nicht weiter, die Auflösung nach

φ

kriege ich irgendwie nicht hin...

Hat irgendjemand einen Ansatz, oder können die Punkte auch anders berechnet werden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

MurksVomOrk aktiv_icon

22:10 Uhr, 06.09.2014

Keine Ahnung wie genau du es brauchst und für welches Fach/welchen Bereich.

In der Robotik (z.B. beim Schweißen/Kleben/... zweier Rohre)
würde man wohl einfach
-die Länge der Schnittlinie ungefähr bestimmen
-s=Länge/Anzahl der Punkte, die man braucht, rechnen
-eine Bisektion über

φ

für jeden einzelnen Punkt machen
-mit der erstellten Punktliste (simulieren, sie nachbessern und dann damit) arbeiten

(oder sich nen Informatiker mit nem besseren Algorithmus suchen oder nen Mathematiker dransetzen)

bei 64 Bit Kommazahlen (in Hardware) oder "was der Speicher und die Zeit zulässt" Bit (in Software oder mit Spezialchips) würde man wohl so gute Ergebnisse erzielen, dass der Roboter in der Fertigung nicht mehr so genau arbeiten kann.

(bisher hab ich auch keine Idee wie man das besser/genauer lösen könnte, aber wozu hat man Zettel und Stift)

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