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Schnittmenge von 2 Wahrscheinlichkeiten berechnen

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit

tommy40629 aktiv_icon

13:21 Uhr, 14.09.2014

Hi,

wie berechnet man die Schnittmenge von 2 Wahrscheinlichkeiten, wenn man nicht weiß ob die Ereignisse abhängig oder unabhängig sind??

4 Dinge sind bekannt:

P (A) = \frac{1}{6}

P (\overline{A}) = \frac{5}{6}

P (B) = \frac{3}{36}

P (\overline{B}) \frac{33}{36}

Mehr weiß man nicht!

Ich will jetzt

P (A \cap B)

berechnen.

Wenn A und B unabhängig sind kann ich rechnen:

P (A \cap B) = P (A) * P_{A} (B) = P (A) * P (B)

.

Das weiß ich aber nicht. Also muss ich

P_{A} (B)

berechnen.

Und jetzt dreht man sich im Kreis:

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

.

Wie soll man denn nun

P (A \cap B)

berechnen??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

Matlog aktiv_icon

13:28 Uhr, 14.09.2014

Aus Deinen Angaben heraus kann man zu

P (A \cap B)

überhaupt nichts sagen!!!

"Mehr weiß man nicht!"

Wenn man Deinen anderen Thread liest, dann sieht man, dass das Blödsinn ist.
Dort sind doch die Ereignisse A und

B

bekannt. Und dann kann man

P (A \cap B)

ausrechnen, was Du dort sogar schon getan hast!!!

tommy40629 aktiv_icon

13:38 Uhr, 14.09.2014

Es ist aber keine allgemeine Regel, dass

P (A \cap B) = P (A) * P (B)

ist.

Das darf man nur anwenden, wenn die Ereignisse unabhängig sind.

So steht es auch in dem Kasten aus dem Buch.

Wenn das falsch ist, ich bin für Verbesserungen offen.

Matlog aktiv_icon

13:58 Uhr, 14.09.2014

Was Du jetzt gerade geschrieben hast, ist alles vollkommen richtig!

In dem anderen Thread hast Du selbst geschrieben:
"P(A∩B) muss

\frac{2}{36} = \frac{1}{18}

sein."
Auch wenn man nicht genau erkennt, wie Du das berechnet hast (oder stammt das aus der Lösung?), es ist jedenfalls richtig!

tommy40629 aktiv_icon

14:17 Uhr, 14.09.2014

Habe das in der anderen Frage nun besser dargestellt, wo die Musterlösung anfängt.
---------------------------------------------------------------------------------------

Ok, dann habe ich ja zumindest verstanden, unter welcher Bedingung man

P (A \cap B)

berechnen kann.

Ich rechnen nun mal einfach drauf los und verwende die Definition von unabhängigen Ereignissen:

Wir wollen zeigen, dass

P (A) = P_{A} (B)

ist.
Dann muss auch gelten, dass

P (A \cap B) = P (A) * P_{A} (B) = P (A) * P (B)

ist.

P (A) = \frac{1}{6}

Wir nehmen an, dass die Ereignisse unabhängig sind, dann können wir sagen, dass

P (A) = P_{A} (B)

ist.

P (A) = \frac{1}{6} = P_{A} (B)

P (A \cap B) = P (A) * P_{A} (B) = P (A) * P (B)

P (A \cap B) = \frac{1}{6} * \frac{1}{6} = \frac{1}{6} * \frac{3}{36}

P (A \cap B) = \frac{1}{36} \neq \frac{3}{216} = \frac{1}{72}

Damit sind die Ereignisse abhänig.

Die Musterlösung sagt dazu:
----------------------------

P (A \cap B) \neq P (A) * P (B)

, wobei

P (A \cap B) = \frac{2}{36}

sind.

Und wo dieses

\frac{3}{36}

herkommen, ist die Frage der Fragen.

Ich weiß nicht, wie man auch

\frac{2}{36}

kommen soll??

tommy40629 aktiv_icon

16:22 Uhr, 14.09.2014

Habe noch was gefunden.

Das bringt aber auch nichts, weil nicht angegeben wird, wie man die Vereinigung zweier Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Matlog aktiv_icon

16:23 Uhr, 14.09.2014

Zunächst muss ich bemerken, dass Du den selben Fehler immer wieder schreibst:
"Wir nehmen an, dass die Ereignisse unabhängig sind, dann können wir sagen, dass

P (A) = P_{A} (B)

ist."
Das ist falsch! (Unachtsamkeit oder Verständnisproblem?)

P (A) = \frac{1}{6}

und

P (B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

hast Du selbst berechnet. (Sag Bescheid, wenn das nicht klar ist!)

Wie man

P (A \cap B)

berechnet, hat Dir im anderen Thread supporter bereits beantwortet.
Er hat einfach geschaut, für welche der

36

Ergebnisse des zweimaligen Würfelns die Ereignisse A und

B

beide zutreffen (also

A \cap B)

.

Wenn dies alles berechnet ist überprüft man einfach, ob

P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)

gilt. Ergebnis: NEIN!

tommy40629 aktiv_icon

16:32 Uhr, 14.09.2014

Ich denke, wenn man 2 Ereignisse A und B vor sich hat, dann können die ja nur:

* abhängig oder
* unabhängig sein.

Damit man P(A geschnitten B) per Rechnung berechnen kann durch die Formel,
P(A geschnitten B) = P(A)*P(B), dazu müssen A und B unabhängig sein.

Es gibt ja auch die Äquivalenz bei der Unabhänigkeit:
A und B sind unabhängig <=> P(A geschnitten B) = P(A)*P(B).
Und dann gilt auch:

P_{A} (B) = P (B)

.

Also muss man "nur" beweisen, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind.

Habe ich das jetzt erst mal so richtig verstanden??

tommy40629 aktiv_icon

16:33 Uhr, 14.09.2014

P_{A} (B) = P (B)

.

Also muss man "nur" beweisen, dass die Ereignisse A und B unabhängig sind.

Habe ich das jetzt erst mal so richtig verstanden??

Matlog aktiv_icon

16:41 Uhr, 14.09.2014

Jetzt hast Du das richtig dargestellt:

P_{A} (B) = P (B)

bei Unabhängigkeit (Formel war oben dauernd falsch!).

"Also muss man "nur" beweisen, dass die Ereignisse A und

B

unabhängig sind."

Diese Aufgabe erfordert die Vorgehensweise genau andersherum. Man muss zeigen, dass die Formel

P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)

nicht gilt, indem man die drei Wahrs. berechnet.

Ich glaube Du vergisst die ganze Zeit die Ereignisse:

A : 1

. Wurf eine 6

B :

Augensumme

> 10

Das ist doch viel mehr Information als nur

P (A) = \frac{1}{6}

und

P (B) = \frac{1}{12}

tommy40629 aktiv_icon

16:58 Uhr, 14.09.2014

Ich kann ja den Beweis noch mal machen.

Soll ich denn dann einfach hier machen, oder eine neue Frage aufmachen??

Matlog aktiv_icon

17:02 Uhr, 14.09.2014

Das ist mir egal!
Dieser (neue) Thread hier war keine gute Idee, weil Du (wichtige) Informationen aus dem anderen vorenthalten hast!

tommy40629 aktiv_icon

17:25 Uhr, 14.09.2014

Das Zufallsexperiment lautet, 2 Mal mit einem Würfel zu würfeln.
Ereignis A: 1. Wurf zeigt eine 6. (X = 6)
Ereignis B: Die Augensumme liegt über 10, (S > 10)

P(A)=1/6
P(nicht A)=5/6

P(B)=3/36 über die Tabelle berechnet
P(nicht B) = 33/36

2 Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt:

P_{A} (B) = P (B)

.

Da nach der Pfadregel immer gilt:

P (A \cap B) = P (A) * P_{A} (B)

, folgt:

2 Ereignisse A und B sind unabhänig <=>

P (A \cap B) = P (A) * P (B)

P (A \cap B) = P (A) * P (B) = \frac{1}{6} * \frac{3}{36} = \frac{1}{72}

Da nach der Pfadregel immer gilt:

P (A \cap B) = P (A) * P_{A} (B)

. Rechnen wir:

P (A \cap B) = P (A) * P_{A} (B)

wir rechnen "durch P(A)"

\frac{P (A \cap B)}{P (A)} = P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{\frac{1}{6}}

Nun

P (A \cap B)

zu berechnen, dass muss irgendwie aus der Aufgabe folgen.
Da habe ich aber noch keine Idee, weil ich so was bisher noch nicht gerechnet habe....

Matlog aktiv_icon

17:34 Uhr, 14.09.2014

Na dann sieh doch einfach in Deiner Tabelle nach, wo der erste Wurf eine 6 ist UND die Augensumme größer als

10

ist!

tommy40629 aktiv_icon

17:55 Uhr, 14.09.2014

Ich habe dazu den relevanten Teil des Baumdiagrammes gezeichnet.

Zuerst muss ja die 6 fallen, das ist ja die Bedingung und deren Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

So die 6 ist gefallen.

Jetzt gehen wir in das 2. Zufallsexperiment, dass uns die Zahlen größer als 10 liefert.

Da können wir uns fragen 6 + x > 10 <=> x > 4 => der zweite Wurf muss die 5 oder die 6 anzeigen.

Also bringen uns 2 Möglichkeiten weiter.

Jetzt müssen wir noch wissen, aus wie vielen Möglichkeiten wir diese 2 Möglichkeiten ziehen können?

Da wir mit einem Würfel würfeln sind es 6 Möglichkeiten.

Aha, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme im 2. Wurf größer als 10 ist

\frac{2}{6}

.

Die gesamte Wahrscheinlichkeit für den letzten Pfad ist damit:

\frac{1}{6} * \frac{2}{6} = 236 = \frac{1}{18}

Und das ist

P (A \cap B)

.

EDIT:
Habe das Baumdiagramm noch berichtigt.

Matlog aktiv_icon

18:03 Uhr, 14.09.2014

Ja, jetzt hast Du es!
Nebenbei:
Was Du gerade mit

\frac{2}{6}

berechnet hast ist

P_{A} (B)

.

Das abgebildete Baumdiagramm halte ich für sinnlos! Was soll das, die Ereignisse A und

B

hintereinander zu betrachten?

(1

. Wurf und 2. Wurf kann man hintereinander betrachten.)
Ein Baumdiagramm zu dem, was Du eben im Text beschrieben hast, würde viel besser passen!

tommy40629 aktiv_icon

18:08 Uhr, 14.09.2014

Habe das mit dem Baum noch geändert.

War eine echt schwere Geburt. Zumindest weiß ich nun, wo ich noch Lücken habe.

Dann Dir vielen Dank!!!!

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