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Schnittmenge von Unterräumen ist Unterraum
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: Vektorraum
 
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Hallo zusammen Ich möchte beweisen, dass die Schnittmenge von Unterräumen auch ein Untervektorraum ist. Dass es die Vereinigung nicht ist, ist aufgrund der (Nicht-)Abgeschlossenheit kein Problem. Angenommen, und seien zwei Untervektorräume von V. Dann sind und nicht leer, denn sie enthalten zumindest das Nullelement. Somit ist die Schnittmenge auch nicht-leer, denn sie enthält ebenfalls das Nullelement. Angenommen sei in aber nicht in dann ist nicht in U. (umgekehrt analog). Sei also ein und in dann ist auch in U. Da jede Linearkombination von aber nun sowohl in als auch in sein muss, muss sie auch in sein.. stimmt das so in etwa? wie geht das formal? Vielen Dank für eure Hilfe Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das geht in die richtige Richtung. Und es gilt sogar noch mehr: Sei I eine nichtleere Indexmenge und zu jedem sei ein Unterraum. Dann ist auch ein Unterraum. Auch in diesem allgemeinen Fall ist natürlich für alle folglich auch . Und bei den Linearkombinationen ist es so, wie du gesagt hast, allerdings hast du nur von einem gesprochen, was wenig Sinn ergibt. Sind und dann auch für alle also für alle also . |
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Und nimmt man den Durchschnitt aller Mengen, die ein enthalten, so erhält man die von erzeugte Untermenge, oder? |
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Wenn du Unterraum statt Menge meinst, ja |
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Ja das meinte ich.. Vielen Dank.. :-) |
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