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Schnittmenge von zwei Linearen Hüllen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum

VonundzuHerr aktiv_icon

16:41 Uhr, 25.11.2016

Hallo Leute,
gegeben habe ich:

A1:=Spann(

{

(1,2,3,4),(0,1,0,2),(1,1,1,2)})
A2:=Spann(

{

(2,-1,1,-1),(1,2,3,2),(1,1,2,1)})

(bitte transponiert sehen)

Aufgabe ist es, von der Schnittmenge

(A 1

und

A 2)

eine Basis und die Dimension zu finden.

Mein Ansatz:

a \cdot (1,2,3,4) + b \cdot (0,1,0,2) + c \cdot (1,1,1,2) = d \cdot (2, - 1,1, - 1) + e \cdot (1,2,3,2) + f \cdot (1,1,2,1)

(bitte transponiert sehen)

Aufgestellt habe ich nun eine erweiterte Koeffizientenmatrix und gesehen, dass die Vektoren linear abhängig sind.
Mit Umformungen erhalte ich folgende Lösungen:

a - c + 3 \cdot d - e = 0

b + c = 0

- 2 \cdot c + 5 \cdot d + f = 0

- d + 2 e + f = 0

Doch was nun?
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

18:10 Uhr, 25.11.2016

Hallo,

das Ganze erst mal etwas lesbarer:

A_{1} := S p a n n ({(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})})

A_{2} := S p a n n ({(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})})

Ich würde folgenden Ansatz bevorzugen:

Ermittle die Gleichung für

A_{1},

indem ich alle Vektoren ermittle, die auf

A_{1}

orthogonal stehen:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & - 1 & - 2 & - 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 2 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Lösung:

(\begin{matrix} 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot t \\ 0 \\ t \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Eine spezielle Lösung ergibt sich für

t = 2

und die nehmen wir her:

(0 - 1 0 2) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = 0

Das ist die Gleichung für

A_{1}

Nun das selbe für

A_{2} :

(\begin{matrix} 2 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & - 3 & - 3 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Lösung:

(\begin{matrix} - s \\ - s - t \\ s \\ t \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 1) \cdot s + 0 \cdot t \\ (- 1) \cdot s + (- 1) \cdot t \\ 1 \cdot s + 0 \cdot t \\ 0 \cdot s + 1 \cdot t \end{matrix}) = (\begin{matrix} (- 1) \cdot s \\ (- 1) \cdot s \\ 1 \cdot s \\ 0 \cdot s \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \cdot t \\ (- 1) \cdot t \\ 0 \cdot t \\ 1 \cdot t \end{matrix}) = s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Eine spezielle Lösung ergibt sich für

s = t = - 1

und die nehmen wir her:

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Das ist das Gleichungssystem für

A_{2}

.

Zusammen ergibt sich für den Durchschnitt das folgende Gleichungssystem:

(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Lösung:

(\begin{matrix} t \\ 0 \\ t \\ 0 \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Damit ist der Durchschnitt:

A_{1} \cap A_{2} = S p a n n ({(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})})

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