Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Schnittstelle zweier ftk bestimmen ( e-Funktion)

Schnittstelle zweier ftk bestimmen ( e-Funktion)

Schüler

Tags: Analysis, e-Funktion, Schnittpunkt

DerGeduldigee aktiv_icon

21:19 Uhr, 09.05.2014

Hallo,

Aufgabe lautet: Gegeben ist die Funktion

g

mit

g (x)

Bestimmen Sie die Koordinaten gemeinsamen Punktes der Graphen von

f,36

und

g

.

Für Welche Werte von a hat der Graph von

f, a

mit dem Graphen der Funktion

g

einen Punkt gemeinsam ?

Begründen Sie ihre Antwort und geben sie diesen Punkt an.

Also die beide Funktion sind

: f, a (x) =

ae^x

/ {(1 + e^{x})}^{2}

Hier ist

a = 36

. Um die Schnittstellen zu berechnen muss man beide Funktionen gleich setzen !

dh.

36 \cdot e^{x} : 1 + e^{x}^2 = e^{x}

Nun weiß ich aber nicht wie ich es weiter berechnen soll ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

21:28 Uhr, 09.05.2014

Ich rate mal:

g (x) = e^{x}

f (x) = \frac{a \cdot e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}

a = 36

So ?

DerGeduldigee aktiv_icon

21:29 Uhr, 09.05.2014

Ja.richtig

Ma-Ma aktiv_icon

21:41 Uhr, 09.05.2014

"Bestimmen Sie die Koordinaten gemeinsamen Punktes der Graphen von

f_{36}

und

g

f (x) = g (x)

\frac{36 \cdot e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}} = e^{x}

Soll es so sein ?

DerGeduldigee aktiv_icon

21:42 Uhr, 09.05.2014

Yes.

Ma-Ma aktiv_icon

21:53 Uhr, 09.05.2014

Das ist eine Aufgabe aus dem Leistungskurs Mathematik.

Zuerst multiplizieren mit

{(1 + e^{x})}^{2}

.
Dann: Minus

36 e^{x}

.
Anschließend

e^{x}

ausklammern.

0 = . .

. ?

DerGeduldigee aktiv_icon

22:01 Uhr, 09.05.2014

Ja also genau die Schritte habe ich mir auch überlegt aber ich weiß ja garnicht was die Lösung ist wenn ich es multipliziere und dann mit

36 e^{x}

subtrahiere.

36 \cdot e^{x} = e^{x} \cdot {(1 + e^{x})}^{2}

und dann

- 36 \cdot e^{x}

wie gesagt

. .

Ma-Ma aktiv_icon

22:12 Uhr, 09.05.2014

Bis dahin alles okay.

0 = e^{x} \cdot {(1 + e^{x})}^{2} - 36 \cdot e^{x}

e^{x}

ausklammern:

0 = e^{x} \cdot [{(1 + e^{x})}^{2} - 36]

Ein Produkt wird NULL, wenn mindestens ein Fakator NULL ist.
Erster Faktor:

e^{x}

Kann der NULL werden ? Nein.

Zweiter Faktor:

0 = [{(1 + e^{x})}^{2} - 36]

0 = {(1 + e^{x})}^{2} - 36

............(korrigiert)

Ausmultiplizieren! Binomische Formeln beachten!

DerGeduldigee aktiv_icon

22:17 Uhr, 09.05.2014

Wieso wurde aus

- 36 \to 36

Ma-Ma aktiv_icon

22:21 Uhr, 09.05.2014

Danke für Deine Aufmerksamkeit

. .

. muss natürlich weiterhin

- 36

heißen. Ich korrigiere obigen Thread.

DerGeduldigee aktiv_icon

22:26 Uhr, 09.05.2014

Ausmultiplizieren:

0 = {(1 + e^{x})}^{2} - 36

0 = 1 + e^{x} + e^{x} + {(e^{x})}^{2} - 36

0 = 1 + e^{4} - 36

Das mit dem Zusammenfassen bzw

e^{4}

bin ich mir nicht sicher

Ma-Ma aktiv_icon

22:34 Uhr, 09.05.2014

Einfacher geht es mit der 1.Binomischen Formel! (Unbedingt lernen!)

0 = 1 + 2 e^{x} + {(e^{x})}^{2} - 36

0 = {(e^{x})}^{2} + 2 \cdot e^{x} - 35

e^{x}

nicht so schön, werden wir substituieren.

z = e^{x}

0 = z^{2} + 2 z - 35

jetzt pq-Formel amnwenden.

z_{1} = ...

z 2 = ...

DerGeduldigee aktiv_icon

22:45 Uhr, 09.05.2014

Wie ich es ausmultipliziert habe ist falsch ?

Ist

e^{x} \cdot e^{x} = 2 e^{x}

und nicht

{(e^{x})}^{2}

? Weil genau da ist mein Problem, denn ich weiß nicht wann ich 2 oder mit Quadrat schreiben soll

Nächster Schritt

: z^{2} + 2 z - 35 = 0

-z/z+-√(2/2)^2+35

z 1 = 5

Rücksubstituion mit

ln

dann ist

x 1 = 1,6

x 2 = - 7

Rücksubstitution mit

ln

dann ist

x 2 =

Error

Ma-Ma aktiv_icon

22:55 Uhr, 09.05.2014

Erster Teil meiner Antwort: Du

22 : 26

Uhr:

0 = 1 + e^{x} + e^{x} + {(e^{x})}^{2} - 36

e^{x} + e^{x} = 2 e^{x}

- - - - - - - - - - - - - - -

22 : 45

Uhr:

e^{x} \cdot e^{x} = {(e^{x})}^{2}

- - - - - - - - - - - - - - -

Beides korrekt.

- - - - - - - - - - - -

pq-Formel anwenden:

0 = z^{2} + 2 z - 35

Das rechne ich gleich nach. Moment bitte

. .

Ma-Ma aktiv_icon

23:02 Uhr, 09.05.2014

Alles super!

"Bestimmen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes der Graphen von

f_{36}

und

g

."

Es gibt EINEN gemeinsamen Schnittpunkt bei

x = 1,6

- - - - - - - - - - - - -

5 min

hänge ich noch eine Skizze an.

Ma-Ma aktiv_icon

23:18 Uhr, 09.05.2014

Hier der Graph:

DerGeduldigee aktiv_icon

23:18 Uhr, 09.05.2014

DANKE !

Wo wir bei skizzieren sind, ich habe oft Probleme wenn ich es skizzieren muss.

Naja, also Wenn ich die Nullstellen , Extremen ( Hochpunkt,Tiefpunkt),Wendestellen habe ist es kein Problem für mich zu skizzieren.

Aber hier zB. weiß ich nicht wie ich es machen soll :

Zeichne sie

f 1; 0,5

und

F 1; 0,5

im Bereich

0 < t < 10

Maximum ist

: \frac{1}{k \cdot e}

Wendestellen

: W (\frac{2}{k}; \frac{2}{k \cdot e^{2}}

( Die Aufgabe hat aber jetzt nicht mit unsere Aufgabe die wie grad berechnet haben zutun )

Also mein Problem ist wie ich schon erwähnt habe wenn ich die Maximum Werte habe allerdings mit einem Unbekannten Faktor es nicht skizzieren kann und deshalb weiß ich nicht was ich machen soll.

Ma-Ma aktiv_icon

23:27 Uhr, 09.05.2014

Nun ja, ich würde für

k

geeignete Werte einsetzen. Dann hätte man Punkte und könnte skizzieren.

DerGeduldigee aktiv_icon

23:35 Uhr, 09.05.2014

Ja habe ich auch versucht aber irgendwie komme ich nicht auf die gleiche Zeichnung wie die Lösungen

. .

. Naja egal ich versuche es erneut vielleicht schaffe ich das .

Du hast mir SEHR GUT GEHOLFEN: DANKE

=)

DerGeduldigee aktiv_icon

23:41 Uhr, 09.05.2014

Aber wenn ich Werte einsetzte Zb.

Maximum ist ja

: \frac{1}{k \cdot e}

Und ich setze für

k = 5

dann bekomme ich ein Wert aber woher soll ich wissen wo die

x

Stelle ist....

Sehr komische Aufgabe.

DerGeduldigee aktiv_icon

23:47 Uhr, 09.05.2014

Hier sind die Lösungen ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/abi/HH/Ma1-LKLM-AWT-2009.pdf

( Wachstum von Bakterien , Aufgabe

e)

ist die Skizze ; man muss sehr nach unten scrollen für die Lösungen.

Ich habe die Werte aber ich weiß nicht wie sie drauf gekommen sind

anonymous

00:25 Uhr, 10.05.2014

Es gibt natürlich viele Umwege, aber mindestens diesen naheliegenden Lösungsweg:

36 \cdot \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}} = e^{x}

ganze Gleichung

\cdot {(1 + e^{x})}^{2},

ganze Gleichung

/ e^{x} :

36 = {(1 + e^{x})}^{2}

ganze Gleichung Wurzel ziehen:

6 = 1 + e^{x}

5 = e^{x}

x = ln (5)

Ma-Ma aktiv_icon

00:30 Uhr, 10.05.2014

@cositan: Verstehe ich Dich richtig ? Dividiert durch

e^{x}

DerGeduldigee aktiv_icon

00:51 Uhr, 10.05.2014

Achso ich bin jetzt nicht auf die Idee gekommen

36

getrennt zu schreiben , kann man das so machen ? Ist das , das gleiche wie im Bruch ? da die

36

im Zähler mit

e^{x}

verbunden ist

Ma-Ma aktiv_icon

00:53 Uhr, 10.05.2014

@cositan: Dividieren durch eine Variable die

x

enthält

\to

NIEMALS (bei der Bestimmung von Lösungen)

!!!

Dein Post von

00 : 25

Uhr: ganze Gleichung

/ e^{x}

\to

NEIN, NIEMALS, dadurch könnte eine Lösung wegfallen !

Beispiel: Statt

e^{x}

setze ich

x

36 \frac{x}{{(1 + x)}^{2}} = x

36 x = x \cdot {(1 + x)}^{2}

0 = x \cdot {(1 + x)}^{2} - 36 x

0 = x \cdot [{(1 + x)}^{2} - 36]

x_{1} = 0

- - - - - - - - - - - - - - -

Wenn Du vorher durch

x

dividierst ENTFÄLLT die LÖsung (Nullstelle

x = 0)

.

LG Ma-Ma

DerGeduldigee aktiv_icon

01:20 Uhr, 10.05.2014

Also wie cositan es gemacht hat war fast richtig ( naja die Lösung ist schon richtig )

Nur steht in den Lösungen so :

\frac{36 \cdot e^{x}}{1 + e^{x}} = e^{x}

Nun wurde es so gemacht das

e^{x}

sowohl im Zähler als auch die rechte von der Funktion

g (x)

weggefallen sind weil

e^{x} >

größer ist als

0;

was auch klar ist

dann wurde

\cdot (1 + e^{x})

heißt also

36 = {(1 + e^{x})}^{2}

und dann wurzel und Ln

1 + e^{x} = 6

e^{x} = 5

x = ln (5)

ABER JETZT KOMMT MEINE FRAGE

!!!!!! e^{x}

ist weggefallen da es größer ist als 0 . ABER warum wurde es im Klammer

(1 + e^{x})

auch nicht entfernt ?

BITTE ANTWORTEN

=)

Ma-Ma aktiv_icon

01:27 Uhr, 10.05.2014

Kleiner Hinweis: Lösungen werden teilweise von Hilfskräften

(z . B

. Studenten) geschrieben. Diese müssen nicht immer (mathematisch) korrekt sein !

DerGeduldigee aktiv_icon

01:28 Uhr, 10.05.2014

Ok ich habe meine Frage Teilweise selber beantwortet :

Denn

(1 + e^{x})

kann nie 0 werden da 1 und

+

vor

e^{x}

steht deshalb kann da minimum 1 rauskommen.

aber

36 \cdot e^{x}

kann 0 werden wenn

e^{x} 0

wird und ja davor

36 \cdot

steht.

Trotzdem es ist verständlich das

e^{x}

weggefallen ist aber warum auch nicht die

36

da es mit

e^{x}

im Zähler von der Bruch steht.

Egal es ist kompliziert ich schlafe jetzt gute Nacht und Danke nochmals

Ma-Ma aktiv_icon

01:30 Uhr, 10.05.2014

36 \cdot e^{x}

kann NIEMALS Null werden !

- - - - - - - - - - - - - - - -

Unser Weg mit dem Ausklammern war mathematisch korrekt

. .

. auch wenn es scheinbar anders geht

. .

. Andere Lösung (dividiert durch

e^{x}

bringt zufällig gleiche Lösung ist aber nicht allgemein relevant!)

DerGeduldigee aktiv_icon

01:35 Uhr, 10.05.2014

Doch es kann 0 werden wenn zB

x = - 5000

ist

Und dann kommt kommt 0 raus . ( so bekommt man wenn man im Taschenrechner eingibt )

Ma-Ma aktiv_icon

01:39 Uhr, 10.05.2014

Unsinn.

e^{- 5000}

ungleich NULL.
Der TR kann nur eine begrenzte Anzahl Nachkommastellen anzeigen

. .

f (x) = e^{x}

wird NIEMALS Null.

DerGeduldigee aktiv_icon

01:44 Uhr, 10.05.2014

Oh gut das du das sagst. Ich dachte irgendwann nähert es sich zu 0.
Vielen Dank.

Trotzdem meine Frage

: 01 : 20

Uhr,

10.05.2014

ganz unten ist immer noch unbeantwortet.
Überall ist es weggefallen außer im klammer

: (

Fortsetzung folgt morgen :-)

Ma-Ma aktiv_icon

01:59 Uhr, 10.05.2014

"Ich dachte irgendwann nähert es sich zu 0."
DAS ist zu

100 %

korrekt!

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Dein Post:

Nur steht in den Lösungen so :

\frac{36 \cdot e^{x}}{1 + e^{x}} = e^{x}

So stand es sicherlich nicht im Lösungsbuch.

- - - - - - - - - - - - - - - -

Muss heißen:

\frac{36 \cdot e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}} = e^{x}

36 \cdot e^{x} = e^{x} \cdot {(1 + e^{x})}^{2}

Sollte dort durch

e^{x}

dividiert worden sein, so ist dies mathematisch nicht korrekt.

Siehe auch meinen Post von

0 : 30

Uhr.

Dividiere NIEMALS durch eine potientielle Lösung (ein Wert, wo

x

enthalten ist)!

anonymous

10:13 Uhr, 10.05.2014

Da der Ausdruck

e^{x}

niemals Null werden kann, kann man die Gleichung problemlos durch diesen Ausdruck teilen. Das ist mathematisch absolut problemlos und korrekt.

anonymous

10:31 Uhr, 10.05.2014

Ich darf vielleicht noch ein wenig präzisieren...

a)

Ma-Ma sagt: "Sollte dort durch

e^{x}

dividiert worden sein, so ist dies mathematisch nicht korrekt."
Nochmals: Da der Ausdruck

e^{x}

niemals NULL werden kann, kann man eine Gleichung problemlos durch diesen Ausdruck teilen. Das ist mathematisch absolut korrekt.

b)

Ma-Ma sagt: "Dividiere niemals durch eine potentielle Lösung (einen

[

Ausdruck], in dem

x

enthalten ist)!"
Wie soll ich sagen. Das enthält ein wenig Wahres. Das enthält ein wenig Missleitendes.

>

Wenn man durch einen Ausdruck teilt, in dem

x

enthalten ist, könnte tatsächlich eine Lösung übersehen werden.
Dennoch: Wenn auf diesem Weg weitere Lösungen gefunden werden, dann sind dies gültige, ggf. brauchbare Lösungen.
In anderen Worten: Auf diesem Weg findet man vielleicht nicht ALLE Lösungen, aber auf diese Weg kann man (einen Teil der) Lösungen finden.

>

Oder:
Wenn man durch Ausdrücke teilt, die

x

enthalten, dann muss man eben eine Fallunterscheidung machen:

b . 1)

Falls dieser Ausdruck Null ist, dann darf man nicht durch diesen Ausdruck teilen, da man ja nicht durch Null teilen darf.
Dann findet man durch diesen Ausdruck selbst mindestens eine potenzielle Nullstelle.

b . 2)

Falls dieser Ausdruck nicht Null ist, dann darf man wie gesagt teilen, und ganz beruhigt im vereinfachten Rest-Ausdruck weiterforschen.

Oder nochmals in anderen Worten oder anderen Gedanken:
Es gilt das Gesetz vom Null-Produkt!
Ein Produkt ist NULL, wenn einer der Faktoren Null ist.

a \cdot b = 0

Daraus folgt:

>

entweder

a = 0

>

ODER

b = 0

In unserem Fall könnte man sich denken:

a = e^{x}

b = z . B

\frac{36}{{(1 + e^{x})}^{2}}

Da a nicht Null werden kann, kann man durch a teilen, und eben den Rest untersuchen.
Oder:
Da der Faktor a nicht Null werden kann, muss eben der Faktor

b

Null werden.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1164199

1164082

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?