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Schranken einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Schrank, Zahlenfolge

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15:05 Uhr, 17.08.2018

Ich bin gerade dabei das Thema zur bestimmung der oberen und unteren Schranke einer Zahlenfolge durchzugehen.

Bisher habe ich nicht viel dazu gefunden bis auf:
Zahlenfolge ist nach oben beschränkt wenn gilt: eine Zahl

s \in ℝ

mit

a_{n} \leq s_{o}

Zahlenfolge ist nach unten beschränkt wenn gilt: eine Zahl

s \in ℝ

mit

a_{n} \geq s_{u}

Jetzt frage ich mich wenn ich irgendeine Zahlenfolge gegeben habe wie

z . B :

a_{n} = \frac{5 \cdot n - 9}{2 \cdot n - 7}

Wie genau gehe ich dann vor um die Schranken zu bestimmen?
Einfach nur ein paar Folgenglieder berechnen und dann eine Vermutung aufstellen und diese Vermutung überprüfen?

Und gibt es noch irgendwas wichtiges was man wissen müsste, (Grenzwerte von Folgen hatte ich noch nicht behandelt))

anonymous

16:32 Uhr, 17.08.2018

Tipp: Polynomdivision

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20:07 Uhr, 17.08.2018

Wozu denn eine Polynomdivision? Begründung bitte..

Respon

20:31 Uhr, 17.08.2018

Bez. Polynomdivision:

\frac{5 \cdot n - 9}{2 \cdot n - 7} = \frac{5}{2} + \frac{17}{2 \cdot (2 \cdot n - 7)}

Und nun schau dir den rechts stehenden Term genauer an.

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20:41 Uhr, 17.08.2018

Hat es etwas mit dem Grenzwert zu tun? wäre

\frac{5}{2}

eine Schranke?

Respon

20:45 Uhr, 17.08.2018

Nein,

\frac{5}{2}

ist keine Schranke.
Was wären

z . B

a_{3}

oder

a_{4}

Respon

21:08 Uhr, 17.08.2018

Also:

a_{1} = \frac{4}{5}

a_{2} = - \frac{1}{3}

a_{3} = - 6

a_{4} = 11

Mit wachsendem

n

nähert sich die Folge dem Wert

\frac{5}{2}

.
Was ist also hier eine mögliche obere oder untere Schranke ?

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07:36 Uhr, 18.08.2018

Also ich hatte auch einfach ein paar Folgenglieder berechnet und halt einer Vermutung aufgestellt.

z . B

Untere Schranke:

- 6

Obere Schranke:

11

Aber gibt es eine möglichkeit diese Schranken zu berechnen ohne eine Vermutung aufzustellen?

Respon

07:42 Uhr, 18.08.2018

Richtig,

- 6

ist eine untere Schranke und

11

eine obere Schranke.
Fehlt noch eine kurze Begründung, wie sich die Folge für

n > 4

verhält.
Um Schranken zu bestimmen, verwendet man meist die Monotonie bzw. den Grenzwert der Folge.

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07:57 Uhr, 18.08.2018

Nach

n > 4

ist die Folge monoton steigend ?

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08:00 Uhr, 18.08.2018

Und welche Möglichkeiten gibt es um die kleinste obere Schranke und die größte untere Schranke zu bestimmen?

Respon

08:02 Uhr, 18.08.2018

Nein, sie ist monoton fallend
Schau dir nochmals den Term von

20 : 31

a_{n} = \frac{5}{2} + \frac{17}{2 \cdot (2 \cdot n - 7)}

Was passiert da für

n > 4

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08:08 Uhr, 18.08.2018

Also mit

n > 4

ist sie monoton fallend und mit steigenden

n

nährt sie sich dem Wert

2,5

immer näher an

Respon

08:15 Uhr, 18.08.2018

Das ist richtig.
Sie ist auch für

n \leq 4

monoton fallend, allerdings gibt es zwischen

a_{3}

und

a_{4}

einen "Sprung".

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08:19 Uhr, 18.08.2018

Wie kann man rechnerisch die kleinste obere Schranke und die größte untere Schranke bestimmen?

Und wozu genau macht man die Polynomdivision, was ist der Grund?

Respon

08:21 Uhr, 18.08.2018

Jedes Beispiel ist etwas anders gelagert.
Manchmal hilft die Monotonie, manchmal der Grenzwert oder eine Abschätzung.
Was wäre

z . B

. mit folgender Folge

a_{n} = \frac{3 \cdot n + 1}{n}

oder

b_{n} = \frac{n^{2} - 4}{n + 2}

anonymous

17:26 Uhr, 18.08.2018

Gegen Respon; jedes Beispiel sei anders gelagert. Die Genialität von euch allen strebt gleichmäßig gegen Null. Außer mir ist nämlich noch niemand auf die Idee verfallen, diese Folgen reell zu interpolieren, wodurch mit einem Mal die Verfahren popeliger Kurvendiskussion anwendbar werden . Ja schlimmer noch; Aktion Johann Sebastian : Kaffeekantate

" Was ich immer alle Tage / Meiner Tochter Lieschen sage
Gehet ohne Frucht vorbei. "

Was ich hier mache, ist Aktion Friedrich Nietzsche. die ewige Wiederkehr ( oder Wiederholung ) des gleichen .
Auch euch ins Stammbuch . Und wenn ihr noch so tobt.

" Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖFLICH .
Ihr müsst die MEIDEN WIE DIE PEST . "

Aktion Bremer Stadtmusikanten

" Etwas Besseres als die QR werden wir überall finden. "

Ich rüste also deine Folge auf zu einer reellen Funktion .

f (x) = \frac{5 x - 9}{2 x - 7} = (1 a)

= \frac{5}{2} + \frac{17}{4} : (x - \frac{7}{2}) (1 b)

Also

(1 b)

ist die Polynomdivision ( PD ) von

(1 a)

Also nachdem euch die Elfe schon den Tipp mit der PD gibt . Da habt ihr immer noch die Chuzpe - anders kann ich es nicht sagen. Zu fragen PD wieso

. .

.

aus drei Gründen. In der Darstellung

(1 b)

erhaltet ihr allererst den Überblick, dass es sich um eine Hyperbel handeln könnte; ihre Asymptote im Unendlichen ist

g = \frac{5}{2}

. Ich hatte euch ausdrücklich vor der QR gewarnt . Darstellung

(1 b)

abzuleiten ist ja ein Klax; es gibt keine Extremata .
Ohne PD wüsste ich auch nicht, wie du ihre Polstelle ermitteln willst - gerade bei diesen gefic kten Zahlen .

x 0 = \frac{7}{2}

.
Das erweist sich als entscheidend; das Residuum dieser Hyperbel ist positiv . Rechts von dem Pol haut sie ab nach

(+ \infty);

und an der ( ungeraden ) Polstelle wechselt sie das Vorzeichen .
Da wir uns ja nur für ganzzahlige Werte intressieren: Unsere Folge ist global monoton fallend .
Als kritische Punkte sind zu untersuichen:

f (4)

und

f (5)

Nimmt die Folge irgendwo ein Maximum oder Minimum an? Ich schick jetzt erst mal ab .

pwmeyer aktiv_icon

17:51 Uhr, 18.08.2018

Warum so viele Worte, Gilgamesch? "Extremata" übertrifft alles, was Du gesagt hast.

Gruß pwm

anonymous

18:48 Uhr, 18.08.2018

Tschuldigung; ich war eben unterbrochen . Die beiden Äste der Hyperbel sind ja zwei

\to

Zusammenhangskomponenten . Auf den Teilintervallen jeweils links bzw. rechts von der Polstelle

x_{0} = \frac{7}{2}

verläuft die Hyperbel monoton fallend. Links finden wir nach

(1.1 a)

die vier Glieder

a_{0} = \frac{9}{7}

bis

a_{3} = (- 6)

Rechts beginnt es dann mit

a_{4} = 11 (

und nähert sich asymptotisch

\frac{5}{2})

. Demnach

n_min

= 3;

a_min

= (- 6);

n_max

= 4;

a_max

= 11 (2.1)

Der asymptotische Wert im Unendlichen kann unberücksichtigt bleiben .

Ach um Respon Genüge zu tun; bei meinen Fähigkeiten auf dem Gebiete der Kurvendiskussion fühle ich mich unterfordert . Was

(3 + \frac{1}{n})

ist, ist doch nun trivial . Und wer nicht weiß, dass

\frac{n^{2} - 4}{n + 2} = n - 2 (2.2)

nach der 3. binomischen, ist dümmer als der Dekan erlaubt

. .

abakus

21:06 Uhr, 18.08.2018

"Die Genialität von euch allen strebt gleichmäßig gegen Null."

Ich wollte hier noch einiges anderes schreiben, habe es aber dann wieder verworfen.
Du schreibst meist sehr viele Zeilen. Man kann vieles davon kürzer fassen.

Der Kernpunkt der meisten deiner Beiträge steckt wohl in diesem Satz:
"Die Genialität von euch allen strebt gleichmäßig gegen Null."

anonymous

15:42 Uhr, 19.08.2018

Was du über den " Kernpunkt " meiner Ausführungen bemerktetest, ist völlig richtig . Stell dir mal vor, hier fänden sich auch nur zwei Teilnehmer . Der eine bemerkt rein zufällig, dass das hier eine Hyperbel ist. Und der andere macht den Vrschlag, dass alle Folgen, deren bildungsgesetz sich reell interpolieren lässt. mittels Kurvendiskussion zu erschlagen gehen .
Wie ist das mit dem kurz Fassen? Ich brauchte gar nichts mehr antworten, weil ja jeder meinen Beitrag als wieder Käuen vorher gegangener Ergüsse werten würde .
Dagegen jene Aussage, wonach jede Folge wieder eine andere Vorgehensweise erfordere, muss ich doch als die nackte Provokation empfinden. Wer so etwas sagt, gibt damit eindeutig zu erkennen, dass er Null geschnalltr hat .

anonymous

16:05 Uhr, 19.08.2018

Lieber Abakus; noch zu diesem Bildungsgesetz; es gibt einen SF Film - Titel kann ich mir leider nie merken; und Tagebuch hab ich auch noch nie geführt . Najaa; vielleicht entdeckt ja

\to

Konrad Kujau eines Tages die Original Tagebücher von König Gilgamesch, verfasst in Keilschrift auf Papyrus

. .

.
So Zeitgenossen wie der Kujau sind ja um keine Ausrede verlegen . Wenn du dem vorhältst, Keil wurde grundsätzlich auf Tontafeln geschrieben, dann antwortet der dir, er habe eben das erste Keilschriftdokument auf Papier entdeckt

. .

.
Du das ist wirklich passiert. Im

17

. Jh. verkaufte ein Fälscher dem frz. König ein Original Tagebuch von Kleopatra - es war auf Französisch verfasst

. .

.
Dieser Film macht sich also lustig über George

W

. oder Obama - hab ich vergessen . Er geht aus von der Annahme, die Aliens hätten die erde erobert und militärisch besetzt.
A Propos Bildungsgesetz. Die Aliens gehen jetzt also her und entwickeln einen Intelligenztest, einen Flipperautomsten für Erdenbewohner . Und der Hauptdarsteller, nennen wir ihn Bob ( Namen kann ich mir so schlecht merken ) kommt da eines Tages dahinter

" Mensch das Gesetz ist doch voll simpel. So bald das rote Licht aufleuchtet, müsst ihr auf die Y-Taste drücken - und schon habt ihr gewonnen

. .

. "

Die folgende Szene zeigt, dass sich vor dem Flipper lange Schlangen bilden. Keiner macht die geringsten Anstalten, Bob zuzuhören; und keiner versteht, was er meint

. .

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