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Schubfachprinzip Geometrie
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Kombinatorische Optimierung
Tags: Binomialkoeffizient, Kombinatorische Optimierung, Schubfachprinzip
 
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Guten Abend alle zusammen, ich sitze hier gerade an einer Schubfachprinzip-Aufgabe und bin mir nicht recht sicher ob mein Lösungsweg der richtige ist. Die Aufgabe lautet: In der Nordsee soll ein Windpark mit Windrädern in einem rechteckigen Seegebiet der Größe errichtet werden. Die Pläne sind allerdings verlorengegangen, und die Baufirma plaziert die Windräder zufällig. Zeigen Sie, dass es immer zwei Windräder gibt, die höchstens weit auseinander stehen. Mein erster Gedanke war das Gebiet in gleichgroße Quadrate aufzuteilen und dann das Schubfachprinzip anzuwenden also: Also man kann Windräder aufstellen damit alle einen Mindestabstand von aufweisen können. Ist mein Gedanke richtig oder muss ich die Aufgabe anders angehen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Also man kann Windräder aufstellen damit alle einen Mindestabstand von aufweisen können. Na, so kann man das aber nicht schlussfolgern. Selbst wenn man die Windräder in einem Quadratraster aufstellt, bringt, man locker mindestens Stück unter. Stellt man sie in einem effizienteren Dreiecksraster auf, sind es deutlich mehr. werden sich aber wohl auch da nicht ausgehen. Die Frage, wie viele Windräder man in einem großen Feld so aufstellen kann, dass jedes mind. Abstand von alle anderen hat, ist gleichbedeutend mit der Frage, wie viele Kreisscheiben vom Durchmesser man in einem Rechteck mit den Dimensionen unterbringen kann, ohne dass sie einander überlappen. |
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Ich würde mal eher 200mx200m-Quadrate betrachten, davon benötigt man genau 10*4=40 um das Seegebiet zu überdecken. Mit sowie folgt dann die Behauptung. Eine etwas größere Herausforderung ist der Nachweis, dass man sogar zwei Windräder mit höchstens 250m Abstand hier findet.  |
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Erstmal danke euch beiden, die zweite Variante schien mir etwas einfacher zu verstehen, deswegen bin ich dieser nachgegangen, jedoch habe ich andere Maße genommen und zwar habe ich mich für ein Quadrat mit einer Diagonalen von entschieden. Nach kurzem rechnen kam ich dann darauf, dass ich Quadrate in die gegebene Fläche bekomme. Meine Rechnung: Quadrat mit Diagonale von Flächeninhalt des Quadrats |
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Irgendwie hast du die Lösungsidee basierend auf dem Schubfachprinzip hier immer noch nicht verstanden: Es geht nicht darum, wie viele Quadrate in das gegebene Seegebietsrechteck passen. Sondern darum, dass diese Quadrate (oder andere Gebiete) in ihrer Vereinigung das gegebene Seegebietsrechteck vollständig ÜBERDECKEN (evtl. ragt sogar was drüber hinaus). Und wenn das 49 oder weniger solche Gebiete sind, dann greift das Schubfachprinzip in der Weise, dass es dann mindestens ein Gebiet gibt, wo mindestens zwei Windräder stehen. Diese Gebiete müssen nun so konstruiert sein, dass die Maximalentfernung zweier Punkte dieses Gebiets die 300m nicht übersteigt. P.S.: Ein weiterer Fehler deiner Betrachtungen (der aber unerheblich ist, weil die ganze Idee sowieso nicht passt): Nur weil die Flächensumme der Quadrate kleiner als die Rechteckfläche ist heißt das noch lange nicht, dass die 35 Quadrate auch wirklich ÜBERLAPPUNGSFREI in das Rechteck passen! Das gilt es konkret durch Angabe einer solchen überlappungsfreien Konfiguration nachzuweisen. |
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Ahh achsooo jetzt habe ich es verstanden, ich hatte einen ganz anderen Gedankenweg und wollte die Aufgabe daher auch anders angehen. Jetzt aber ist mir deine Rechnung schlüssig geworden. Danke dir vielmals :-D) |
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Dass auch andere Gebietsformen möglich sind, wollte ich mit der Skizze im vorletzten Beitrag verdeutlichen: Dort überdecken genau 49 regelmäßige Sechsecke der Kantenlänge 125m das Seegebietsrechteck 2000m x 800m (genauer gesagt wird sogar 2000m x 866m überdeckt). In mindestens einem Sechseck liegen daher zwei Windräder, und die maximale Entfernung in diesem Sechseck ist die große Diagonale der Länge 2*125m = 250m. |
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