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Schubfachprinzip
Universität / Fachhochschule
Tags: Zahlentheorie
 
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anonymous 10:55 Uhr, 29.01.2005  |
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Es sei p eine Primzahl größer als 3 und n eine natürliche Zahl; außerdem habe p^n in der Dezimalschreibweise 20 Stellen. Man zeige, dass hierin mindestens eine Ziffer mehr als zweimal vorkommt. Die Aufgabe soll mit Hilfe des Schubfachprinziüs gelöst werden. Das ist die Bundeswettbewerbsaufgabe von 1987. Leider kann man die Lösungen zu den alten Aufgabe nur kaufen und da am Wochenende die Geschäfte bekanntlich geschlossen sind... Danke! |
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Hallo Akim, ich gebe dir mal ein Beispiel für das Dirichletsche Schubfachprinzip, vielleicht kommst du dann darauf. Gibt es in London zwei Leute mit exakt der gleichen Menge an Haaren auf dem Kopf? Nun, typischerweise haben Menschen nicht mehr als eine Million Haare. In London leben zwischen vier und fünf Millionen Menschen. Nun nimmst du jeweils ein Schubfach für null Haare, eins für ein Haar ... bis zu einer Million und sortierst in jedes Schubfach die Londoner gemäß der Anzahl ihrer Haare ein. Da du vier Millionen auf eine Million Schubfächer verteilen musst, wird es mindestens ein Schubfach geben, wo mehr als einer rein muss. So ist der Beweis erbracht. Den Beweis findest du in schön geschriebener Form bei Wikipedia. Gruß, Marco p.s. pn ist auf keinen Fall gerade, vielleicht hilft dir das ja auch etwas. |
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Ich habe zwar leider noch nie was von diesem Prinzip gehört, aber es gefällt mir. Und ich habe eine Lösung gefunden. p ist eine Primzahl>3 p^n ist daher nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbar. Wenn in den 20 Ziffern jede Ziffer genau 2 mal vorkäme (Umkehrbeweis) wäre die Ziffernsumme 90, die Zahl wäre durch 3 teilbar. |
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anonymous 15:14 Uhr, 29.01.2005 |
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----------------------------------------------- Ich habe zwar leider noch nie was von diesem Prinzip gehört, aber es gefällt mir. Und ich habe eine Lösung gefunden. p ist eine Primzahl>3 p^n ist daher nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbar. Wenn in den 20 Ziffern jede Ziffer genau 2 mal vorkäme (Umkehrbeweis) wäre die Ziffernsumme 90, die Zahl wäre durch 3 teilbar. ----------------------------------------------- Danke für die Lösung! (das Schubfachprinzip ist hier wie so oft wohl mal wieder trivial;) |
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anonymous 17:05 Uhr, 29.01.2005 |
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---------------------------------------------------- Hallo Akim, ich gebe dir mal ein Beispiel für das Dirichletsche Schubfachprinzip, vielleicht kommst du dann darauf. Gibt es in London zwei Leute mit exakt der gleichen Menge an Haaren auf dem Kopf? Nun, typischerweise haben Menschen nicht mehr als eine Million Haare. In London leben zwischen vier und fünf Millionen Menschen. Nun nimmst du jeweils ein Schubfach für null Haare, eins für ein Haar ... bis zu einer Million und sortierst in jedes Schubfach die Londoner gemäß der Anzahl ihrer Haare ein. Da du vier Millionen auf eine Million Schubfächer verteilen musst, wird es mindestens ein Schubfach geben, wo mehr als einer rein muss. So ist der Beweis erbracht. Den Beweis findest du in schön geschriebener Form bei Wikipedia. ---------------------------------------------------- Angenommen ein Mensch hat maximal 1Millionen Haare auf dem Kopf und London hat vier Millionen Einwohner, dann haben doch mindestens 5 Leute genau gleich viele Haare auf dem Kopf, oder? Eine Verallgemeinerung des Schubfachprinzips sagt ja, dass "Bei jeder Verteilung von an+1 Kugeln auf n Schubfächer gibt es ein Fach, das a+1 Kugeln enthält. Gilt analog die Aussage "Bei jeder Verteilung von an+t Kugeln(t<n) auf n Schubfächer gibt es ein Fach, dass mindestens a+1 Kugeln enthält? |
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so trivial wie oben einer meinte ist es vielleicht doch nicht: es wird (aber wo ?) ganz entscheidend gebrauch gemacht, dass wir endlich viele objekte und schubfächer haben: sei ein hotel mit den zimmern 2, 4, 6, 8, usw und es kommen gäste mit den namen 1, 2 ,3 ,4 , 5 usw also sozusagen doppelt soviele wie zimmer, trotzdem kommen alle unter !! |
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