Schur-Komplement und Rang

Hallo zusammen,

ich hab da ein paar Verständnisprobleme bezüglich des Schurkomplements und dessen Rang.

An nem Beispiel:

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)}$, wobei A, B, C, D Element K und A, D quadratisch. Außerdem ist D invertierbar.

Dann ist das Schurkomplement von D\E ist

${\displaystyle {\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{[\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Das nehm ich jetzt einfach mal so hin, woher das kommt hab ich keinen Schimmer, aber es wurde ja definiert :)

So jetzt kommts zum Rang.

Es soll wohl so sein, dass rank(E)=rank(D)+rank(D\E) ist.

Ich weiß wohl, dass der Rang von invertierbaren Matrizen der Zeilen/Spaltenzahl entspricht, das hilft mir aber für das Schurkomplement noch nicht so viel.

Fänds super, wenn mir da jemand auf die Sprünge hilft!

Liebe Grüße

Peter