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Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Stochastikerin

12:32 Uhr, 06.08.2023

a)

Formuliere das schwache Gesetz der großen Zahlen

b)

Eine Maschine produziert mit einer Aussuschquote von

10 %

Schrauben.

(i)

Es werden

n \in ℕ

Schrauben prodzuziert. Wie viele Schrauben sind approximativ nach dem Gesetz der Großen Zahlen kaputt? Geben Sie die Verteilung der Anzahl der kaputten Schrauben an.

(ii) Bestimmen sie bei einem Stichprobenumfang von

400

approximativ die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass mehr als

50

Schrauben defekt sind.

(iii) Bestimmen sie bei einem Stichprobenumfang von

400

approximativ die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass höchstens

20

Schrauben defekt sind.

Zu

a)

Wie würdet ihr eine wörtliche und mathematisch - einfache! - Formulierung des Gesetzes sagen?

Zu

b)

Leider fehlt mir hier jeder Ansatz, wie ich vorgehen kann. Ich bräuchte einmal Hilfe, um das Gesetz wirklich zu verstehen und wie damit zu rechnen ist. Je einfacher und verständlicher in den Formeln (Besonders für ii und iii) erklärt, umso besser!

Danke!!!

Zu

b) i)

hätte ich gesagt:

Wir haben nur 2 mögliche Ausgänge, Kaputt oder Funktionstüchtig. Die Wahrscheinlichkeit einer kaputten Schraube ist

p = 0,1

.
Da wir es

n

mal ausführen, ist dies binomialverteilt mit

n \cdot p = 0,1 n

Also sind nach dem Gesetz

\frac{n}{10}

schrauben kaputt. Allerdings für mich unsichtlich, wo das Gesetz da greift?

Zu

b)

ii) hätte ich gesagt:

Wir suchen

P (X \geq 51),

wobei

X

Anzahl defekter Schrauben.

P (X \geq 51) = 1 - P (X \leq 50), n = 400, p = 0,1

Wie geht es nun aber weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

13:11 Uhr, 06.08.2023

Hallo
zu

a)

Was für Vorschläge kommen denn aus dem Internet?
Was sagen denn deine Vorlesungsunterlagen dazu?
Was sagt denn Chat_GPT dazu?
Keine Sorge - eine Fassung in eigene Worte wird Studium und Verständnis sicherlich gut tun.

zu

b)

Ja,

\frac{n}{10}

ist sicherlich gut.
Wenn ich überkritischer Oberlehrer wäre, würde ich vielleicht noch zu bedenken geben, dass man vielleicht eher Ganzzahlen erwarten könnte:
Anzahl kaputter Schrauben = Ganzzahlrunden(

\frac{n}{10})

b

.ii)
Ja, die Symbolschreibweise lässt schon gut ahnen.
Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit

>

für (genau)

51

fehlerhafte Schrauben?

>

für (genau)

52

fehlerhafte Schrauben?

>

für (genau)

53

fehlerhafte Schrauben?

> . .

.
Hast du einen Programmalgorithmus, um alle

(X \geq 51)

gesamthaft zu berechnen?
Willst du unbedingt binomialverteilt rechnen, oder genügt auch eine normal-verteilte Näherung?

zu

b

.iii)
Ich ahne, mit 'approximativ' spielt der Aufgabentext eben auf Normal-Verteilung an.
Falls ja, dann

>

wie groß ist der Mittelwert?

>

wie groß ist die Standardabweichung?

>

wie groß ist das Quantil?

Stochastikerin

13:38 Uhr, 06.08.2023

Ich war halt verwirrt, hier das Gesetz der großen Zahlen explizit anzuwenden. Wir dürfen für die Aufgaben auch nur die zur Verfügung gestellten Tabellen im Buch benutzen, keinen TR

o

.ä,

Ansonsten:

Wenn der Zusammenhang normalverteilt sein soll, dann kann man ja:

P (x \leq k) = F (n, p, k) = Φ (\frac{k - μ + 0,5}{σ})

mit

μ = n \cdot p

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

b)

ii)

P (X \geq 51) = 1 - P (X \leq 50) = 1 - Φ (\frac{50 - (400 \cdot 0,1) + 0,5}{\sqrt{400 \cdot 0,1 \cdot 0,9}})

= 1 - Φ (\frac{50 - (400 \cdot 0,1) + 0,5}{\sqrt{400 \cdot 0,1 \cdot 0,9}})

= 1 - Φ (- \frac{34,5}{36}) = 1 - (1 - Φ (\frac{34,5}{36}))

Soweit in Ordnung?

calc007

13:59 Uhr, 06.08.2023

Ich habe jetzt nur auf die schnelle überflogen,
und ahne gute Dinge.
:-)

...(bis auf die letzte Formelzeile, da steht formal inhaltlich):
(Äffchen) = 1-(Äffchen)

: - (

Stochastikerin

14:01 Uhr, 06.08.2023

Gilt denn

Φ (- x) = 1 - Φ (x)

(?)

Wenn ja, wie muss ich jetzt in der Normalverteilungstabelle hinten nachschauen, um eine Aussage über die Frage zu treffen?

calc007

15:39 Uhr, 06.08.2023

Sicherlich gilt: Die Normalverteilung ist symmetrisch.
Hmmm, am Ende mag's sogar sein, dass deine Äffchen-Gleichung (sorry) stimmt.

Ich tue mir damit immer schwer, weil es dutzende Philosophien gibt, die Normal-Verteilung in Tabellenwerke zu fassen.
Die einen beschreiben

\int_{- x}^{x} p (x) \cdot d x

die andern wiederum

\int_{- \infty}^{x} p (x) \cdot d x

wiederum andere

\int_{0}^{x} p (x) \cdot d x

und wahrscheinlich viele andere mehr...

Daher empfehle ich immmer: Nicht (nur) irgendwelchen kryptischen I(+-x) -Formalismus zu treiben, sondern einfach anschaulich eine Skizze der Gauss-Glockenkurve mit dem Flächenteil hervorgehoben, den du meinst.
Das kann man sicherlich auch in irgend einen "I(+-x)" BuchstabenKrieg (sorry, aber das empfinde ich so) fassen, ist aber viel anschaulich verständlicher.

zurück
zu

b

.ii)
Klar sollte doch sein, dass du den Teil der Gauss-Glockenkurve bedenken und ermitteln sollst, der eben für

p (X \geq 51)

steht.
Skizze, Fläche farblich hervorheben, anschaulich vor Augen, Tabellenwert dazu raus suchen...

Stochastikerin

15:48 Uhr, 06.08.2023

Nur bleiben mir für ein paar Bildchen in einer Prüfung keine Zeit ;-)

Nochmal bitte verständlich:

Ich habe ausgerechnet, dass

P (X \geq 51) = 1 - P (X \leq 50) = Φ (\frac{34,5}{36}) = Φ (0,95)

Wie aber bekomme ich in der Tabelle jetzt diesen Wert abgelesen?

Wäre das

0,82894

(?) und damit knapp

83 %

? Denn das wäre eine arg hohe W-keit.. eher unrealistisch. Deswegen die Fragen :-)

calc007

16:05 Uhr, 06.08.2023

"Nur bleiben mir für ein paar Bildchen in einer Prüfung keine Zeit ;-)"

Sei sicher, eine Skizze mit einer Andeutung Gauss-Glockenkurve, einer Begrenzungslinie, und einer vielleicht gestrichelten Fläche darunter hervorgehoben
braucht keine

10

Sekunden
und viel weniger Zeit, als sich irgend einen kryptischen I(+-x) Formalismus zu überlegen.

Stochastikerin

16:07 Uhr, 06.08.2023

Danke :-)

Dann bitte einfach jemand anderes vielleicht, der mir bei der Aufgabe helfen kann? Wäre super :-)

Stochastikerin

16:11 Uhr, 06.08.2023

Edit: Hat sich erledigt, hatte oben 2 größere Rechenfehler.

Es ist:

P (X \geq 51) = 1 - P (X \leq 50) = 1 - Φ (\frac{10}{6}) = 1 - Φ (1,6) = 1 - 0,9452 = 0,05 \to 5 %

calc007

16:27 Uhr, 06.08.2023

siehe Bild

Stochastikerin

16:53 Uhr, 06.08.2023

Danke :-) Mit den Bildchen lässt es sich reden.

eine andere, ähnliche Frage:

Eine faire Münze wird

n

mal geworfen.
Zeige, dass für große

n

die Anzahl der Würfe, bei denen die Münze Kopf zeigt, approximativ mit Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{2}

im Intervall

[\frac{1}{2} n - 0,335 \sqrt{n}, \frac{1}{2} n + 0,335 \sqrt{n}]

liegt.

Wie müsste man hier mit dem Satz von Moivre vorgehen?

calc007

18:20 Uhr, 06.08.2023

Wie lautet denn (für die Annäherung per Normal-Verteilung) der Zusammenhang zwischen

>

Anzahl Würfe

>

Wahrscheinlichkeit

p

>

und Standardabweichung?

...und
welche Standardabweichung betrachtest du für
"approximativ mit Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{2}

" ?

Stochastikerin

19:24 Uhr, 06.08.2023

Wir betrachten eine faire Münze, bei der die Wahrscheinlichkeit, dass sie Kopf zeigt,

p = 0,5

ist. Wir führen

n

unabhängige Münzwürfe durch.

Die erwartete Anzahl der Kopfwürfe ist

E (X) = n \cdot p = 0,5 \cdot n = \frac{1}{2} \cdot n = 0,5 n

Die Standardabweichung der binomialverteilten Zufallsvariablen

X

ist σ

= 0,5 \cdot \sqrt{n}

.

Sei Anzahl der Kopfwürfe

X

P (\frac{1}{2} n - 0,335 \cdot \sqrt{n}

≤

X

≤

\frac{1}{2} n + 0,335 \cdot \sqrt{n})

Weiß nun aber nicht genau, wie man weiterrechnet.

calc007

07:55 Uhr, 07.08.2023

"Weiß nun aber nicht genau, wie man weiterrechnet."
Hmmmmm, ist dir klar, dass du genau eine Zeile darüber das stehen hast, was du nachweisen sollst?
Da musst du doch nichts mehr weiter rechnen.

Das einzige was du machen musst, ist dir klar zu machen, wie du hier hin kommst.
Ich und wir können aus deinen Aufschrieben nicht ersehen, ob und wie du zu dieser Zeile gekommen bist.
Ich und wir können insbesondere nicht ersehen, wie du zu dem Wert

0,335

gekommen bist.
Wenn du dir (und ggf. uns) klar machst, wie du vorgegangen bist, dann ist die Aufgabe doch evtl. schon gelöst.

pivot aktiv_icon

09:24 Uhr, 07.08.2023

Hallo,

prinzipiell wird hier die binomialverteilte Zufallsvariable durch die normalverteilte Zufallsvariable approximiert. Um das approximative(!) Intervall zu erhalten standardisiere ich erst einmal die Zufallsvariable.

Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{X - n \cdot 0, 5}{0, 5 \cdot \sqrt{n}}

Die W'keit, dass die normalverteilte Zufallsvariable

X

im Intervall

[- x, x]

liegt ist

2 \cdot Φ (\frac{x - μ}{σ}) - 1

. Diese Wahrscheinlichkeit soll wohl jetzt 0,5 betragen.
Nun erst einmal die Werte einsetzen.

2 \cdot Φ (\frac{x - n \cdot 0, 5}{0, 5 \cdot \sqrt{n}}) - 1 = 0, 5

2 \cdot Φ (\frac{x - n \cdot 0, 5}{0, 5 \cdot \sqrt{n}}) = 1, 5

Φ (\frac{x - n \cdot 0, 5}{0, 5 \cdot \sqrt{n}}) = 0, 75

Umkehrfunktion bilden

\frac{x - n \cdot 0, 5}{0, 5 \cdot \sqrt{n}} = Φ^{- 1} (0, 75)

Online-Rechner verwenden um den Wert berechnen zu lassen, z.B. hier:
stattrek.com/online-calculator/normal

Es ergibt sich für

p = 0.75

der Wert

z = 0.674

\frac{x - n \cdot 0, 5}{0, 5 \cdot \sqrt{n}} = 0, 674

Nun lässt sich die obere Grenze des approximativen Intervalls berechnen indem man die Gleichung nach

x

auflöst. In deinem Intervall wurde wohl

z = 0, 67

verwendet.

Gruß
pivot

pivot aktiv_icon

09:24 Uhr, 07.08.2023

Doppelpost gelöscht.

Roman-22

10:24 Uhr, 07.08.2023

>

Online-Rechner verwenden um den Wert berechnen zu lassen
Stochastikerin hat aber oben geschrieben, dass sie nur eine zur Verfügung gestellte Tabelle benutzen darf und keinen TR und damit wohl auch keine Webseite mit Online-Rechner.

>

In deinem Intervall wurde wohl

z = 0,67

verwendet.
Wir kennen die Tabelle, die sie zur Verfügung hat, nicht, aber meist sind die "z-Werte" in diesen Tabellen nur auf 2 Nachkommastellen angegeben, wie zB bei de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle#Fl%C3%A4cheninhalte_unter_dem_Graphen_der_Standardnormalverteilung
Dort muss man eben die Tabelle "umgekehrt" lesen, also einen

Φ

-Wert suchen, der möglichst nahe bei

0,75

liegt und damit dann den zugehörigen z-Wert bestimmen.
Man liest bei

0,67

den Wert

0,74857

ab und bei

0,68

den Wert

0,75175

. Gut möglich, dass man von den Studenten dann keine Interpolation verlangt, sondern akzeptiert, wenn sie sich für den näheren Wert (hier bei

0,67)

entscheiden.

Genauer geht es, wenn man eine Quantilen-Tabelle zur Verfügung hat, die den Tabellen der Standard-NV meist angeschlossen ist, so wie auch bei Wikipedia
de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle#Quantile
Dort kann man unter

0,75

den genaueren Wert

0,674490

ablesen, was dann zu dem etwas genaueren Wert

0,337 . .

. anstelle der angegebenen

0,335

führt. Ob diese Genauigkeit aber angesichts der Tatsache, dass die NV hier ja ohnedies nur eine Approximation einer Binomialverteilung ist, erforderlich ist, sei dahingestellt.
Außerdem wissen wir nicht, ob die Tabelle in dem Buch, welche Stochastikerin verwenden darf, auch eine solche Quantilentablle beinhaltet.

pivot aktiv_icon

10:45 Uhr, 07.08.2023

>>Stochastikerin hat aber oben geschrieben, dass sie nur eine zur Verfügung gestellte Tabelle benutzen darf und keinen TR ...<<
Den Part habe ich überlesen. Tabelle geht natürlich auch. Das heute immer noch Tabellen verwendet werden hätte Ich nicht gedacht. Wie sinnvoll das ist, da bin ich mir im Moment nicht im Klaren-in Zeiten von Chatgpt

&

Co. Vielleicht würde man Zeit für wichtigere Dinge gewinnen, wenn man bestimmte Punkte, wie z.B. Tabelle, weglassen würde. Ob dann aber möglicherweise das tiefere Verständnis etwas verloren geht weiß ich nicht.

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