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Schwankungsintervall bei mehrdim. Zufallsgrößen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Schwankungsintervall, Statistik, Statistische Methoden

Timmm aktiv_icon

23:12 Uhr, 20.02.2023

Moin Moin,
als Klausurvorbereitung für statistische Methoden rechnen wir die Altklausuren durch. In einer Aufgabe geht es um eine Portfoliorendite. Sind die Erwartungswerte für

X

und

Y

(unterschiedliche Aktien) und die Varianz von

X

und

Y

angegeben. Zusätzlich ist die Covarianz angegeben. Mit einer Portfolio-Aufteilung wurde auch der Erwartungswert für das Portfolio und die Varianz für das Portfolio ausgerechnet:

E (X) = 3;

VAR(X)=1

; E (Y) = 6;

VAR(Y)=

1;

COV(X,X)=-0,5 ; E(Portfolio)=4,5 ; VAR(Portfolio)= 4
Die Werte sind entweder so vorgegeben oder berechnet und mit den Lösungen abgeglichen. Nun soll das zentrale

90 %

Schwankungsintervall berechnet werdenn. Das Problem: Die VErteilung ist nicht bekannt. Als Lösung wird das Intervall als SI

[- 1,825; 10,825]

sprich

4,5 \pm 6,325

. In keiner Tabelle finde ich den Wert von

6,325

und weder

n

noch die Verteilung sind gegeben.
Als nächste Aufgabe ist mit gleichen Parametern eine Normalverteilung vorgegeben und das Intervall als SI

[

1,210;7,790] also

4,5 \pm 3,29

.
Schwankungsintervalle wären ja kein Problem, wenn wenigstens ein

n

vorgegeben wäre.
Falls jemand eine Idee hat, wie das Intervall berechnet werden könnte, wäre ich sehr dankbar diese zu hören.
Danke schon mal im vorraus.
Timm

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

08:42 Uhr, 21.02.2023

Hallo,

ich habe da noch nicht wirklich eine gute Idee. Ich vermisse die Angabe über die Gewichtung der Aktien. Vielleicht kannst du die Portfoliobildung noch einmal genauer beschreiben.

Gruß
pivot

HAL9000

08:49 Uhr, 21.02.2023

> Schwankungsintervalle wären ja kein Problem, wenn wenigstens ein

n

vorgegeben wäre.

Wieso soll ein

n

vorgegeben sein? Es geht hier doch nicht um eine Stichprobe, aus der du die Verteilung schätzen sollst, sondern die Verteilungsparameter sind DIREKT vorgegeben. Was willst du da mit einem

n

?

Das 90%-Intervall kann man nicht berechnen, ohne dass die Verteilung bekannt ist. Man kann bei Kenntnis der Charakteristiken Erwartungswert und Varianz allenfalls (z.B. mit Tschebyscheff-Ungleichung) ein Intervall angeben, welches MINDESTENS 90% umfasst. Ich hätte ja anfänglich getippt, man soll Normalverteilung annehmen - aber das ist ja dann eh deine zweite Teilaufgabe.

P.S.: COV(X,X)=-0,5 ist wohl ein Tippfehler, vermutlich ist COV(X,Y)=-0,5 gemeint.

Irgendwas stimmt aber generell an den Daten nicht: Wieso ist die Varianz des Portfolios so dermaßen hoch im Vergleich zu denen der Ausgangsaktien??? Mit einem Portfolio, dass aus positiven Anteilen der Aktien

X

und

Y

besteht, sind diese Daten nicht in Einklang zu bringen. :(

Timmm aktiv_icon

10:28 Uhr, 21.02.2023

Moin, die Gewichtunng liegt bei

0,5

pro aktie.

Timmm aktiv_icon

10:33 Uhr, 21.02.2023

Die Varianz des Portfolios ist bezogen auf eine Gewichtung von

0,5

pro Aktie. Bis auf den Schreibfehler bei COV((X,Y) sind alle Werte so entweder durch die Aufgabe vorgegeben oder berechnet und mit den Lösungen abgeglichen.

pivot aktiv_icon

10:33 Uhr, 21.02.2023

O.K. Das VaR=value at risk spielt hier nicht mit hinein?

Die ganze Originalaufgabe könnte helfen.

Timmm aktiv_icon

10:42 Uhr, 21.02.2023

Als Aufgabenstellung sind alle Werte

E (x) E (y)

Var

(x)

Var(y) und die Cov(x,y) gegeben.

A)

Es soll

E (P)

und Var(P) in abhängigkeit zu a (Gewichtung berechnet werden)

E (P) = 6 - 3 a;

Var(P)=18a^2

- 33 a + 16 - \to

stimmt mit der Lösung

B)

Var(P)=3 vorgegeben. Es soll die Gewichtung und die Erwartungberechnet werden

a = 0,573; E (p a = 0,573) = 4,2881

C)

Paramter bleiben wie in AUfgabenstellung,

a = 0,5

festgelegt. Es soll Var(P

a = 0,5) E (P a = 0,5)

und das zentrale

90 %

Schwankungsintervall berechnet werden.
Var(P

a = 0,5) = 4 E (P a = 0,5) = 4,5

D)Schnwankungsintervall gegeben

X

und

Y

Normalverteilt

HAL9000

11:21 Uhr, 21.02.2023

> E(X)=3; VAR(X)=1 ;E(Y)=6; VAR(Y)= 1; COV(X,Y)=-0,5 ; E(Portfolio)=4,5 ; VAR(Portfolio)= 4

> Moin, die Gewichtung liegt bei 0,5 pro aktie.

Für

Z = \frac{X + Y}{2}

bekomme ich

E (Z) = 4, 5

sowie

V (Z) = 0, 25

statt 4.

Selbst im worst-case (im Sinne einer Diversifizierung)

Cov (X, Y) = 1

käme man nur auf

V (Z) = 1

. Der Wert 4 ist mir komplett unverständlich.

Timmm aktiv_icon

11:38 Uhr, 21.02.2023

Die Varianz wurde in Aufgabenteil

A

in Abhängigkeitz zu a berechnet:
VAR(p(a))=

18 a^{2} - 33 a + 16

Eingesetzt

a = 0,5

ergibt die Varianz 4. Die Lösungen geben das auch vor.
Das Problem sind die Schwankungsintervalle

HAL9000

13:45 Uhr, 21.02.2023

OK, so langsam erkenne ich, wo du uns die ganze Zeit verarscht hast, ohne es jemals zu korrigieren:

Anscheinend ist

Var (Y) = 16

gemeint, NICHT wie oben angegeben

Var (Y) = 1

.

> Bis auf den Schreibfehler bei COV((X,Y) sind alle Werte so entweder durch die Aufgabe vorgegeben.

Vielen Dank nochmal für diese überaus gründliche Überprüfung der Daten deinerseits.

Timmm aktiv_icon

14:14 Uhr, 21.02.2023

Du hast recht, die Var(y)=16, das habe ich nicht bemerkt. Aber darum geht es ja auch nicht. Es geht nicht um den Erwartungswert oder die Varianz die berechnet werden soll, sondern um das Schwankungsintervall. Die berechneten Werte sind alle richtig, nur der eine gegebene Wert war anscheinend von mir falsch übernommen. Für mich ändert das nichts an dem Problem, dass ich ein Schwankungsintervall suche. Wenn die Var(y) so wichrig für das Schwankungsintervall ist, dann muss es ja wohl eine Formel dafür geben die ich hier ja erfragen will.

HAL9000

22:00 Uhr, 21.02.2023

> Man kann bei Kenntnis der Charakteristiken Erwartungswert und Varianz allenfalls (z.B. mit Tschebyscheff-Ungleichung) ein Intervall angeben, welches MINDESTENS 90% umfasst.

Hab es inzwischen nachgerechnet: Führt GENAU auf dein erstes Intervall

4, 5 \pm \sqrt{\frac{4}{0, 1}} = 4, 5 \pm \sqrt{40} \approx 4, 5 \pm 6, 325

. Dann war es wohl auch so gemeint, d.h. als Grobabschätzung statt als Berechnung.

pivot aktiv_icon

00:12 Uhr, 22.02.2023

Das war ja mal wieder ein heiteres Rätselraten. Anstatt die Aufgabenstellung wortwörtlich wiederzugeben werden Eigeninterpretationen gepostet, obwohl ich das erbeten hatte. Dass Hal da drangeblieben ist, ist aller Ehren wert. Natürlich auch, dass er die ganze Sache auflösen konnte.

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