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Schwer: Schnittpunkten von Ellipse und Gerade

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Algebraische Topologie

Tags: Algebraische Topologie

papajohn aktiv_icon

03:47 Uhr, 19.04.2019

Ich habe eine numerische Lösung in meiner Fragestellung aber ich frage mich ob es
auch eine direkte Lösung existieren kann.

{({(\frac{x}{a 1})}^{\frac{2}{e 2}} + {(\frac{y}{a 2})}^{\frac{2}{e 2}})}^{\frac{e 2}{e 1}} + {(\frac{z}{a 3})}^{\frac{2}{e 1}} - 1 = 0

a 1, a 2, a 3, e 1, e 2 > 0

positive Reelle Nummern von 0.1 bis 4.
Alle Punkten

(x, y, z)

die diesen Gleichung erfüllen, liegen auf die Oberfläche der Ellipse.
Alle Punkten bei denen die Gleichung > 0 ist sind außerhalb der Ellipse.
Alle Punkten bei denen die Gleichung <0 ist, sind innerhalb der Ellipse.

Wenn Punkt A

(x, y, z)

innerhalb ist (

G l e i c h u n g < 0

)
und Pukt B (xb,yb, zb) außerhalb ist (

G l e i c h u n g > 0

)
Findet den Punkt in der gerade wo auf der Ellipsenoberfläche liegt. (

G l e i c h u n g = 0

)
Ich suche also den Schnittpunkt der gerade und der Ellipse.
Ich löse es nummerisch indem den Mittelpunkt der Gerade AB bilde und prüfe ob auf der Ellipse liegt und das wiederhole ich solange bis (Gleichung =0)

Ich vermute die Lösung in der Berechnung der räumlichen Polarkoordinatenen ,denn jeder Punkt in der Ellipse kann ich ihn darstellen als:

P (η, ω) = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a 1 * c o s {(η)}^{e 1} * c o s {(ω)}^{e 2} \\ a 2 * c o s {(η)}^{e 1} * s i n {(ω)}^{e 2} \\ a 3 * s i n {(η)}^{e 1} \end{array})

Kann mich jemand Helfen das

(η, ω)

des Schnittpunkts der Gerade AB mit der Ellipse zu berechnen.
Dankee

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

09:20 Uhr, 19.04.2019

>Alle Punkten

(x, y, z)

die diesen Gleichung erfüllen, liegen auf die Oberfläche der Ellipse.
Das räumliche Pendent zu einer Ellipse

(=

ebene Kurve) nennt man Ellipsoid. Allerdings stellt deine Gleichung nur für

e_{1} = e_{2} = 1

ein Ellipsoid dar. Für andere Werte von

e_{1}

und

e_{2}

handelt es sich wohl "nur" um eine (kompliziertere) Fläche, die für manche Werte von

e_{1}

und

e_{2}

manchmal vielleicht einem Ellpsoid ähnlich sieht.

Für beliebige Werte von

e_{1}

und

e_{2}

ist deine Aufgabe vermutlich tatsächlich nur mit numerischen Näherungsverfahren lösbar. wobei es da sicher Verfahren gibt, die rascher konvergieren als das von dir gewählte Bisektionsverfahren. Allerdings sind Newton und Co. auch ein wenig komplizierter in der konkreten Ausführung, weswegen man solche Aufgaben sinnvollerweise einem Rechenknecht überlässt, am besten einem Mathe Programm, welches solche nichtlinearen Gleichungssysteme auf Knopfdruck lösen kann, weil es entsprechende numerische Funktionen eingebaut hat.

P . S . :

Wenn deine Polardarstellung richtig sein soll, hast du vermutlich in der impliziten Gleichung einen Tippfehler und der Summand sollte

{(\frac{z}{a_{3}})}^{\frac{2}{e_{2}}}

lauten und nicht

{(\frac{z}{a_{3}})}^{\frac{2}{e_{1}}}

.

EDIT: Im Anhang ein paar Beispiele dafür, wie unterschiedlich deine Fläche in Abhängigkeit der Parameter (vor allem

e_{1}

und

e_{2})

aussehen kann. (Anm.: Bei zwei Figuren wurde nur die obere Hälfte geplottet)

Beachte ferner, dass Potenzen negativer Zahlen für nicht-ganzzahlige Exponenten nicht definiert sind. Du kannst dich bei der impliziten Form aus der Affäre ziehen, indem du anstelle von

{(\frac{x}{a_{1}})}^{\frac{2}{e_{2}}}

einfach

{({(\frac{x}{a_{1}})}^{2})}^{\frac{1}{e_{2}}}

schreibst, aber bei der Darstellung in Polarkoordinaten wirds da schon schwieriger, wenn sin oder

cos

negativ werden.

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