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Integration

Tags: Integration

F2222 aktiv_icon

13:15 Uhr, 07.11.2010

Hi, ich hab schwerigkeiten bei folgender Aufgabe:

Durch Ausbohren eines Zylindes aus einer Halbkugel ist ein homogener Körper

B \subset R^{3}

entstanden der durch die Ungleichung

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2, x^{2} + y^{2} \geq 1, z \geq 0

beschrieben wird. Bestimme die Koordinaten seines Schwerpunkts.

Der Körper hat eine homogene Dichte p = 1

So ich weiß das es sich berechnen lässt durch:

x_{s} = \frac{1}{m (B)} \int \int \int_{B} x * p (x, y, z) d x d y d z,

wobei

m (B) = \int \int \int_{B} p (x, y, z) d z d y d x

ist.

So das Problem ist, ich weiß nicht so recht wie ich die Formel anzuwenden habe und ich hab auch schwerigkeiten mir den Körper zeichnerisch vorzustellen

Ich hoffe einer kann mir Helfen

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

14:56 Uhr, 08.11.2010

Hallo,

Du hast eine Halbkugel mit dem Radius $\sqrt{2}$ , aus dem ein zylindrisches Stück mit dem Radius 1 herausgebohrt wurde. Ich habe mal eine Zeichnung von dem Teil gemacht (siehe unten), dann kannst Du Dir das besser vorstellen.

Was Du im Prinzip tun mußt, hast Du ja selbst schon geschrieben. Ich vermute, daß Deine Probleme darin bestehen, das Dreifachintegral konkret mit Integrationsgrenzen hinzuschreiben und auszurechnen.

Wegen der Bohrung in der Mitte ist die Berechnung des Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten nicht so einfach und man muß das Integral in zwei oder mehr Teile aufteilen. Da das Problem rotationssymmetrisch zu z-Achse ist, bietet es sich daher an, das Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten durchzuführen. Der Übergang von den kartesischen Koordinaten zu den Zylinderkoordinaten werden ja vermittelt durch:

$x = r \cdot \cos (φ); y = r \cdot \sin (φ); z = z$ und es ist $r^{2} = x^{2} + y^{2}$

In Zylinderkoordinaten wird einmal über $φ$ integriert, und zwar von 0 bis $2 π$ . Die Integration über r läuft von 1 bis $\sqrt{2}$ und die Integration über z läuft von 0 bis $\sqrt{2 - r^{2}}$ (das folgt aus der Kugelgleichung: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 \Rightarrow z = \sqrt{2 - (x^{2} + y^{2})} = \sqrt{2 - r^{2}}$ ).

Und das Volumenelement $d x \cdot d y \cdot d z$ muß ersetzt werden durch das Volumenelement in Zylinderkoordinaten: $r \cdot d φ \cdot d r \cdot d z$ . Wenn ich dann noch berücksichtige, daß p=1 ist, sieht das Dreifachintegral für die Masse m in Zylinderkoordinaten folgendermaßen aus:

$m = \int_{0}^{2 π} \int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{2 - r^{2}}} r \cdot d z d r d φ$

Zuerst wird das innerste Integral berechnet, also Integration nach z. Alles, was nicht von z abhängig ist (wie z.B. das r), wird wie eine Konstante behandelt. Danach noch die Integrationsgrenzen einsetzen und schon geht es zum zweiten Integral usw. Vielleicht kriegst Du das ja auch alleine hin, zumindest möchte ich Dir anbieten, das mal alleine zu probieren. Wenn Du nicht klar kommst, meldest Du Dich einfach wieder (Zur Kontrolle: $m = \frac{2}{3} π$ ).

Das zweite Integral ist ganz ähnlich. Da das Problem rotationssymmetrisch ist, liegt der Schwerpunkt auf der Rotationsachse (=z-Achse), d.h., $x_{S} = 0$ und $y_{S} = 0$ . Es genügt daher, die z-Komponente des Schwerpunkts zu berechnen:

$z_{S} = \frac{1}{m} \int_{0}^{2 π} \int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{2 - r^{2}}} z \cdot r \cdot d z d r d φ$

Viele Grüße

Yokozuna

F2222 aktiv_icon

11:03 Uhr, 15.11.2010

Hi, sry hab die antwort erst zu spät gesehen, finde die erklärung aber sehr gut danke !!

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