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Schwerpunkt bestimmen

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Sonstiges

Tags: Kurve, mehrdimensionale Analysis, Schwerpunkt, Sonstiges

physik93 aktiv_icon

20:34 Uhr, 23.06.2013

Hallo,
Ich muss bei dieser aufgabe (bild

1)

den schwerpunkt einwe fläche bestimmen
Ich habe jtz herraus gefunden das die fläche eine ellipse ist ( meine aufzeichnungen siehe bild

2)

Ich weis jtz nicht wie ich hervorgehen soll.
Kennt jmd einen ansatz?
Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

20:46 Uhr, 23.06.2013

Hallo,

Du hast bei Deiner Skizze nicht die Grenze

y = 0

und die Info

x \geq 0

berücksichtigt.

Bei Deinem inneren Integral hängen die Grenzen von

y

ab zugleich wird bzgl

d y

integriert. Mir ist nicht klar, ob Du Dich verschrieben hast, oder ob Du grundsätzliche Probleme mit 2-fach und 3-fach Integralen hast.

Gruß pwm

physik93 aktiv_icon

20:48 Uhr, 23.06.2013

Ich habe probleme mit 2 und 3 facher integrale weil wir es kürzlich begonnen haben und nun habe ich diese aufgaben und muss sie lösen damit ich zur prüfung gelassen werde

: (

Respon

21:03 Uhr, 23.06.2013

Laut "Bartsch":
Schwerpunkt eines homogenen ebenen Flächenstücks, das von

k : y = f (x),

der x-Achse und den Parallelen

x = x_{1}

und

x = x_{2}

begrenzt wird

x_{s} = \frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} x \cdot y d x}{\int_{x_{1}}^{x_{2}} y d x}

y_{s} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} y^{2} d x}{\int_{x_{1}}^{x_{2}} y d x}

Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche, die oben von der Kurve

k_{2} : y = y_{2} (x)

und unten von

k_{1} : y = y_{1} (x)

begrenzt wird

x_{2} = \frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} x \cdot (y_{2} (x) - y_{1} (x)) d x}{\int_{x_{1}}^{x_{2}} (y_{2} (x) - y_{1} (x)) d x}

y_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}} ({(y_{2} (x))}^{2} - {(y_{1} (x))}^{2}) d x}{\int_{x_{1}}^{x_{2}} (y_{2} (x) - y_{1} (x)) d x}

pwmeyer aktiv_icon

21:11 Uhr, 23.06.2013

Respon wirft die Grundsatzfrage auf: Will ich ein Abschreiber sein oder ein Versteher?

Gurß pwm

physik93 aktiv_icon

21:13 Uhr, 23.06.2013

Diese formeln kenn ich aber ich will sie anwenden können schließlich schreibe ich meine klausur in einem monat :$

Respon

21:14 Uhr, 23.06.2013

Die große Halbachse der Ellipse wäre

2 \cdot a,

dementsprechend die Grenzen.

physik93 aktiv_icon

21:17 Uhr, 23.06.2013

Leite ich es ab? Oder wie kommst du auf diee

2 a

physik93 aktiv_icon

21:17 Uhr, 23.06.2013

Leite ich es ab? Oder wie kommst du auf diee

2 a

Respon

21:20 Uhr, 23.06.2013

Soweit ich deine Skizze verstanden habe, soll der Schwerpunkt der rechten Ellipsenhälfte bestimmt werden.
Die vorgegebene Gleichung lautet

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = a^{2}

oder

\frac{x^{2}}{4 \cdot a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

\Rightarrow

große Halbachse

2 \cdot a

\Rightarrow

kleine Halbachse a

Respon

21:22 Uhr, 23.06.2013

Oder ist die Viertelellipse gemeint ?

physik93 aktiv_icon

21:23 Uhr, 23.06.2013

ich bin mir nicht sicher von meiner skizze daher weiß ich es nicht

: (

Respon

21:28 Uhr, 23.06.2013

Im Text heißt es:
Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Fläche, die durch die KURVEN

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = a^{2} (

Ellipse )

y = 0 (

x-Achse )
für

x \geq 0

begrenzt werden.
Ist das der Originaltext ?

physik93 aktiv_icon

21:29 Uhr, 23.06.2013

jaa

Respon

21:31 Uhr, 23.06.2013

Dann scheint es sich eher um eine Viertelellipse zu handeln.
Bei einer Halbellipse wäre die Begrenzung

y = 0

unsinnig.

physik93 aktiv_icon

21:32 Uhr, 23.06.2013

ok dann nehem wir an das es tatsächlich so ist :-) wie erhalte ich meine grenzen?

Respon

21:37 Uhr, 23.06.2013

Da dir die relevante Formel bekannt ist....
Die große Halbachse der Ellipse ist

2 \cdot a (

siehe weiter oben

), x \geq 0,

also Grenzen von 0 bis

2 \cdot a

Ellipsengleichung nach

y

umformen und die Zähler- und Nennerintegrale bilden.
Im Nenner kommt dann allerding ein sehr unangenehmes Integral.

physik93 aktiv_icon

21:38 Uhr, 23.06.2013

Siehts so aus, also die fläche?

physik93 aktiv_icon

21:44 Uhr, 23.06.2013

Ich weis jtz nicht was ich da für

x

und

y

einsetzen soll

> . <

ich kann die formel nicht anwenden

Respon

21:49 Uhr, 23.06.2013

bzw. das obere Viertel.

y = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^{2} - x^{2}}

aber auch

y = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^{2} - x^{2}}

Nehmen wir das obere Viertel.

x_{s} = \frac{\int_{0}^{2 \cdot a} x \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^{2} - x^{2}} d x}{\int_{0}^{2 \cdot a} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot a^{2} - x^{2}} d x}

physik93 aktiv_icon

21:52 Uhr, 23.06.2013

ok jtz muss ich integrieren stimmts? :-)

Respon

21:53 Uhr, 23.06.2013

Ja !

physik93 aktiv_icon

21:59 Uhr, 23.06.2013

hmm der integral ist etwas kompliziert hier

> . <

wie soll das mit dem

x \cdot \frac{1}{2} \cdot

sqrt(4*a²-x²) gehen bei integrieren da ist überall ein mal zeichen da zwiwschen und macht alles sehr schwer

edit: oder beachte ich das erste

x

nicht?

physik93 aktiv_icon

22:02 Uhr, 23.06.2013

ok ok ich habs ;-)

Respon

22:03 Uhr, 23.06.2013

Das Zählerintegral ist kein Problem.
Wende die Substitution

4 \cdot a^{2} - x^{2} = u

an, das

x

vor der Wurzel verschwindet dann sowieso.

physik93 aktiv_icon

22:06 Uhr, 23.06.2013

Kann es so stimmen?

physik93 aktiv_icon

22:07 Uhr, 23.06.2013

ja beim nenner bin ich mir extrem unsicher hoffe das es ok so ist

Respon

22:16 Uhr, 23.06.2013

Du kannst ja mit Wolfram überprüfen.
http//www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+

physik93 aktiv_icon

22:17 Uhr, 23.06.2013

ok habs mit nem anderen program es überprüft setze ich jtz die grenzen ein und fasse alles zusammen und wäre das dann mein schwerpunkt?

Respon

22:20 Uhr, 23.06.2013

Das wäre die x-Koordinate ( Wolfram behauptet

\frac{8 \cdot a}{3 \cdot π})

Die y-Koordinate mit der relevanten Formel berechnen ( siehe oben )

physik93 aktiv_icon

22:22 Uhr, 23.06.2013

\frac{8 \cdot a}{3 \cdot π}

ist das für beide integrale oder nur für eins der beiden?

physik93 aktiv_icon

22:25 Uhr, 23.06.2013

Für ys habe ich nun das hier geschrieben:

Respon

22:29 Uhr, 23.06.2013

Jetzt geht es ja nur mehr um das Ausrechnen der Integrale. ich lasse das einmal Wolfram machen.

physik93 aktiv_icon

22:29 Uhr, 23.06.2013

okii :-)

physik93 aktiv_icon

22:31 Uhr, 23.06.2013

wie gibst du das ein bei wolfram alpha?? ich kriege es nicht hin mit der ober und untergrenze

Respon

22:33 Uhr, 23.06.2013

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x*1%2F2*sqrt%284*a^2-x^2%29++0+to+2*a

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F2*sqrt%284*a^2-x^2%29+0+to+2*a

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F4*%284*a^2-x^2%29+%2C+0+to+2*a

Respon

22:38 Uhr, 23.06.2013

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