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Schwerpunkt eines Halbkreises berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Schwerpunkt

christoph90 aktiv_icon

13:25 Uhr, 02.04.2019

Hallo,

ich soll den Schwerpunkt eines Halbkreises berechnen mit. Angaben sind dabei:

x^{2} + y^{2} \leq 1

und

x \geq y

Ich berechne das über das statische Moment geteilt durch die Fläche des Halbkreises. Vermutlich ist dies schon etwas umständlich, aber es dient auch eher als Übung um besser in Integrieren mit Polarkoordinaten zu werden.

S_{y} = \int_{}^{} \int_{}^{} x d x d y = \int_{}^{} \int_{}^{} r \cdot c o s (φ) d φ d r

S_{x} = \int_{}^{} \int_{}^{} y d x d y = \int_{}^{} \int_{}^{} r \cdot s i n (φ) d φ d r

und die Fläche entspricht

A = \frac{π}{2}

bei einem Radius von 1.

Jeweils in den äußeren Grenzen nach

d φ

integriert.
Hierbei ist die untere Grenze

\frac{5}{4} π

und die obere Grenze

\frac{9}{4} π

Das innere Integral ist nach

d r

und hat die untere Grenze

0

und die obere Grenze

1

.

Somit ergibt sich für die jeweiligen statischen Momente:

S_{y} = + \frac{2}{\sqrt{2}}

und

S_{x} = - \frac{2}{\sqrt{2}}

Der Schwerpunkt ist dann für den x-Anteil

s_{x} = \frac{S_{y}}{A} = \frac{\sqrt{2}}{π}

und der y Anteil ergibt sich zu

s_{y} = \frac{S_{x}}{A} = \frac{- \sqrt{2}}{π}

.

Das Ergebnis müsst aber eigentlich

\frac{4}{3 π}

jeweils sein.

Meine erste Frage wäre, ob es falsch ist die Aussage

x \geq y

so zu verstehen, dass der Halbkreis von

- π \frac{3}{4}

bis

+ π \frac{1}{4}

läuft.

Zweite Frage wäre dann, ob die Grenzen richtig angesetzt wurden.

Über jede Hilfe dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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