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Schwerpunkt von einem Tetraeder und Weiteres

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Algebra, Geometrie, Schwerpunkt

peter94 aktiv_icon

15:03 Uhr, 26.01.2014

Gegeben ist ein Tetraeder ABCD mit DA(Vektor)= a(Vektor); DB(Vektor)=b(Vektor); DC(Vektor)=c(vektor)

Aufgabenstellung:

a)

Sei

S

der Schwerpunkt des Dreiecks DAB. Drücken Sie CS(Vektor) durch a(vektor), b(vektor), c(vektor) aus!

b)Zeigen Sie, dass die Verbindungsstrecke der Schwerüunkte zweier Seitendreiecke parallel zu derjenigen Kante ist, die keinem der beiden Dreiecke angehört!

Ansatz: Ich weiß wirklich überhaupt nicht wie ich das anstellen soll. Ich weiß wie man das Volumen eines Tetraeders berechnet aber nicht wie man den Schwerpunkt durch CS ausdrücken kann.
Der Schwerpunkt eines Dreickes ABC wäre ja:

\frac{1}{3} \cdot (A + B + C)

Wäre nett wenn ihr die Aufgabe mit Rechenweg angebt - Danke im Vorraus

Bild:
http//www.bilder-upload.eu/thumb/ffd50c-1390744972.jpg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Werner-Salomon aktiv_icon

19:05 Uhr, 26.01.2014

Hallo Peter,

Mit der Gleichung für den Schwerpunkt hast Du Recht.
Folglich ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABD

S_{A B D} = \frac{1}{3} (A + B + D)

Wenn die Seiten - ausgehende von

D

- als Vektoren

a

b

und

c

darstellt, so gilt:

a = A - D

b = B - D

c = C - D

und umgekehrt:

A = D + a

B = D + b

C = D + c

einsetzen in die Schwerpunktgleichung:

S_{A B D} = \frac{1}{3} (D + a + D + b + D)

= \frac{1}{3} (3 D + a + b) = D + \frac{1}{3} (a + b)

und

C S = S - C

C S = D + \frac{1}{3} (a + b) - (D + c)

C S = \frac{1}{3} (a + b) - c

zu b)
wenn

S_{A B D} = D + \frac{1}{3} (a + b)

dann ist entsprechend

S_{B C D} = D + \frac{1}{3} (b + c)

und der Verbindungsvektor von

S_{A B D}

nach

S_{B C D}

ist

S_{B C D} - S_{A B D} = D + \frac{1}{3} (b + c) - D - \frac{1}{3} (a + b)

= \frac{1}{3} (c - a)

und da

c - a

der Vektor AC ist, ist die Verbindungslinie parallel zu diesem Vektor.

Gruß
Werner

peter94 aktiv_icon

19:14 Uhr, 26.01.2014

dankeschön - besser hätte man es gar nicht erklären können :-)

peter94 aktiv_icon

19:14 Uhr, 26.01.2014

dankeschön - besser hätte man es gar nicht erklären können :-)

aleph-math aktiv_icon

20:42 Uhr, 26.01.2014

Gu. Abd!

D. Formel nutzt hier nicht viel, da sie nur d. Betrag betrifft, wir brauchen aber hier (zusätzl.) d. Richtung (Vektoren!). Überleg, wie d. Schwerpkt defin. ist (Schnittpkt d. ...linien), dann müßte man schon auf d. Vektor

\vec{C S} = \vec{s} - \vec{c}

kommen. Dabei kann auch d. Symmetrie helfen; beim Tetra.. sind ja alle Seitenflächen gleich, näml. gleichseit. Dreiecke. Ggf. helf ich auch weiter.

D. Teil b) ist einfach: "parallel" heißt hier, d. Verbind.linie hat überall d. gl. Abstand von d. Basislinie. Dann muß in jed. Dreieck auch d. Strecke v. Schwerpkt zur Basiskante gleich sein. Dies jedoch ist genau durch d. Symm. gegeben, also ist auch d. Parallel. gegeben; "quod erat demonstrandum" (wie/was zu beweisen war), sagt d. Lateiner.. :-)

Viel Erfolg & schönen So!

** Edit: Sorry, hab ohne "Konkurrenz" angefangen, aber mit großen Pausen so lang gebraucht, daß mich jetzt d. Koll. überholt haben. Muß erst schauen, ob ich noch 'was beitragen kann.. -GA

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