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Schwimmbecken Problem

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Matrizenrechnung

kuno77 aktiv_icon

10:51 Uhr, 19.10.2019

Ein Schwimmbecken hat die Gesamtfüllmenge

M

Liter. Es kann über 3 Leitungen mit den Durchflussmengen

x 1, x 2

und

x 3

Liter/Minute gefüllt werden. Um das Schwimmbecken zu füllen, benötigen die beiden ersten Leitungen zusammen

60

Minuten. Die erste und die dritte Leitung brauchen zusammen

80

Minuten. Die zweite und die dritte Leitung schaffen es zusammen in

120

Minuten.

Wie lange braucht jede Leitung um das Schwimmbecken alleine zu füllen?

Also irgendwie muss man ja wohl ein Gleichungssystem aufstellen, aber ich stehe komplett auf dem Schlauch wie ich diese Frage angehen soll. Ich bin für jede Hilfe dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

mathestudent-111 aktiv_icon

11:28 Uhr, 19.10.2019

es gibt verschiedene Lösungswege.

Zuerst schreibe mal alles auf.

x1+x2 = 60min
x2+x3 = 120min
X1+x3 = 80min

Du kannst x1+x2 = 60min
- (x1+x3 = 80min)

= x2-x3 = -20min
Zu diesem kannst du nun x2+x3= 120min addieren

Dann bekommst du 2 * X2= 100min Also x2 = 50min

Durch oben einsetzen bekommst du x1 und x3.

Variante 2:

definiere aus deinen gleichungen:
x1 = 60min - x2
x2= 120min - x3
x3 = 80-x1 = 80-(60-x2) = 80-(60-(120min-x3))

Dann kannst du die Gleichung auf x3 auflösen und dann x3 oben einsetzen.

supporter aktiv_icon

11:31 Uhr, 19.10.2019

gelöscht

mathestudent-111 aktiv_icon

11:43 Uhr, 19.10.2019

Im Titel steht bei dir Matrizen und Lineare Algebra.

Google doch mal nach dem Gauss-eliminationsverfahren.

Dann erhälst du meine 1.Variante als Matrixform.

Sonst ist dieser Link noch interessant ( matrixcalc.org/de/slu.html
Tipp: verwende eine 3x3 Matrix da du 3 variablen hast und 3 Gleichungssysteme.

maxsymca

12:12 Uhr, 19.10.2019

Meine Überlegungen gehen davon aus, dass in einer Zeiteinheit das
Zeiteinheit/Laufzeit stel vom M
gefüllt wird: Also

{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60}, \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{80}, \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{120}}

Roman-22

12:51 Uhr, 19.10.2019

Der Ansatz von maxsymca ist zweifellos richtig, allerdings wäre es nett, wenn er angeben würde, welche Bedeutung die von ihm eingeführten Variablen

x, y, z

denn haben.

Wenn mathestudent-111 schreibt

x 1 + x 2 =

60min,
so ist das aber schlicht falsch, denn die Variablen

x 1, x 2

und

x 3

sind in der Angabe eindeutig definiert, auch wenn sie dort fälschlicherweise "Durchflussmengen" genannt werden ("Volumenstrom" wäre dafür die korrekte Bezeichnung, "Durchflussrate" wäre auch noch akzeptabel). Sie haben die Dimension Volumen pro Zeit, ihre Einheit ist mit Liter/Minute angegeben. Die Summe von

x 1

und

x 2

kann daher sicher nicht die Dimension Zeit haben.

Richtig wären vielmehr die Gleichungen

(x_{1} + x_{2}) \cdot 60' = M

(x_{1} + x_{3}) \cdot 80' = M

(x_{2} + x_{3}) \cdot 120' = M

Wenn wir nun mit

t_{1}, t_{2}

und

t_{3}

die gesuchten Zeiten (die jeweils ein Zufluss allein für die Beckenfüllung benötigt) bezeichnen, dann gilt

x_{1} \cdot t_{1} = M \Rightarrow x_{1} = \frac{M}{t_{1}}

x_{2} \cdot t_{2} = M \Rightarrow x_{2} = \frac{M}{t_{2}}

x_{3} \cdot t_{3} = M \Rightarrow x_{3} = \frac{M}{t_{3}}

Setzt man das nun in die obigen Gleichungen ein, kürzt sich

M

raus und man erhält Gleichungen wie zB

\frac{60'}{t_{1}} + \frac{60'}{t_{2}} = 1

oder nach Division eben wie von maxsymca ohne Einheit angegeben

\frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{t_{2}} = \frac{1}{60'}

Das ist nun ein nichtlineares Gleichungssystem in

t_{1}, t_{2}, t_{3},

welches aber durch die Substitutionen

k_{1} = \frac{1}{t_{1}}, k_{2} = \frac{1}{t_{2}}

und

k_{3} = \frac{1}{t_{3}}

in ein lineares System übergeführt werden kann:

60' \cdot k_{1} + 60' \cdot k_{2} = 1

80' \cdot k_{1} + + 80' \cdot k_{3} = 1

120' \cdot k_{2} + 120' \cdot k_{3} = 1

Die Lösungen für die

k_{i} (i = 1,2,3)

werden die Einheit

\frac{1}{min}

haben und ihre Kehrwerte sind die gesuchten Zeiten

t_{i}

.

Zu deiner Kontrolle:

t_{1} = 96' = 1 h 36', t_{2} = 160' = 2 h 40', t_{3} = 480' = 8 h

maxsymca

13:11 Uhr, 19.10.2019

Hab ich doch

Zeiteinheit/Laufzeit (stel vom M)

Ersichtlich: Zeitheitheit 1 und x,y,z stehen dann für die Laufzeit zur Füllung von M.

Vielleicht, besser wäre Füllzeit gesagt.

Roman-22

14:22 Uhr, 19.10.2019

>

Hab ich doch

>

Zeiteinheit/Laufzeit (stel vom

M)

Naja, diese sprachliche Ungetüm ist aber weder eine Dimensionsangabe noch eine Einheit, oder ;-)

>

Ersichtlich:
Mir war schon klar, was deine

x, y, z

bedeuten sollten. Für die Fragesteller hier sind die Dinge, die für uns "ersichtlich" sind aber meist nicht so klar - sonst würden sie hier vl auch gar nicht erst Fragen stellen. Ganz abgesehen davon ist es mMn unabdingbar, anzugeben, wofür neu eingeführte Bezeichnungen stehen.

maxsymca

14:43 Uhr, 19.10.2019

Wie dem auch sei - diese Aufgabe steht immerhin in der Abteilung Universität/Fachhochschule da sollte man damit rechnen können, dass ein Hinweis genügt und wenn nicht, dass nachgefragt wird...
Jetzt sollte ja alles geklärt sein.
Schönes WE

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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