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Schwingung mit komplexen Zahlen

Schüler

Tags: algebraisch, Exponentialform, Komplexe Zahlen, Schwingung

Pupsiali aktiv_icon

23:38 Uhr, 14.09.2020

Hey, könnt ihr mir bitte dabei helfen die aufgaben

a, b

und

c

zu lösen. Ich komme da gar nicht weiter.

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

05:56 Uhr, 15.09.2020

Hallo,

ich weiß leider nicht, wie da in dem

Ingenieursphysikbingo die Fachtermini definiert sind,

aber mithilfe von

sin (α) = \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot α} - e^{- i \cdot α})

kann man

z . B

. für

a)

schonmal

y_{1} = \sqrt{2} \cdot a \cdot sin (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4}) = \frac{a}{\sqrt{2} \cdot i} \cdot (e^{i \cdot (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4})} - e^{- i \cdot (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4})})

schreiben.

Anbei nochmal Dein Bild, gedreht und zugeschnitten...

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17:24 Uhr, 15.09.2020

Hey,

ehrlich gesagt weiß ich gar nicht was ich machen muss.. ich habe die Ergebnisse von der Klausur aber ich verstehe sie gar nicht.

die Lösung für die aufgabe

a .) - a - j \cdot a

b .) a - j \cdot a

c .) j \cdot 3 a

Keine Ahnung wie man auf die Ergebnisse kommt..:(

anonymous

18:18 Uhr, 15.09.2020

Wenn ich, wo ich oben aufgehört habe,

mit getrennten Summanden weitermache,

krieg ich einmal

\frac{a}{\sqrt{2} \cdot i} \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4})}

= \frac{a}{\sqrt{2} \cdot i} \cdot e^{i \cdot ω \cdot t} \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{4}}

= a \cdot \frac{- \frac{1}{\sqrt{2}} - i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2} \cdot i} \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t)}

= a \cdot (- \frac{1}{2 \cdot i} - \frac{1}{2}) \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t)}

= a \cdot (\frac{i}{2} - \frac{1}{2}) \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t)}

= \frac{a \cdot i - a}{2} \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t)}

und für den anderen Summanden

- \frac{a}{\sqrt{2} \cdot i} \cdot e^{- i \cdot (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4})}

= - \frac{a}{\sqrt{2} \cdot i} \cdot e^{- i \cdot ω \cdot t} \cdot e^{- i \cdot \frac{5 \cdot π}{4}}

= - a \cdot \frac{- \frac{1}{\sqrt{2}} + i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2} \cdot i} \cdot e^{- i \cdot (ω \cdot t)}

= - a \cdot (- \frac{1}{2 \cdot i} + \frac{1}{2}) \cdot e^{- i \cdot (ω \cdot t)}

= - a \cdot (\frac{i}{2} + \frac{1}{2}) \cdot e^{- i \cdot (ω \cdot t)}

= \frac{- a \cdot i - a}{2} \cdot e^{- i \cdot (ω \cdot t),}

Hmmm...

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23:59 Uhr, 15.09.2020

kann mir da keiner weiter helfen ?

anonymous

01:37 Uhr, 16.09.2020

Hier:

a)

\sqrt{2} \cdot a \cdot sin (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4})

\approx \approx > \sqrt{2} \cdot a \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4})}

= \sqrt{2} \cdot a \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{4}} \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

= \sqrt{2} \cdot a \cdot (- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}) \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

= (- a - i \cdot a) \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

b)

\sqrt{2} \cdot a \cdot cos (ω \cdot t + \frac{5 \cdot π}{4}) = \sqrt{2} \cdot a \cdot sin (ω \cdot t + \frac{7 \cdot π}{4})

\approx \approx > \sqrt{2} \cdot a \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t + \frac{7 \cdot π}{4})}

= \sqrt{2} \cdot a \cdot e^{i \cdot \frac{7 \cdot π}{4}} \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

= \sqrt{2} \cdot a \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}) \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

= (a - i \cdot a) \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

c)

3 \cdot a \cdot sin (ω \cdot t + \frac{π}{2})

\approx \approx > 3 \cdot a \cdot e^{i \cdot (ω \cdot t + \frac{π}{2})}

= 3 \cdot a \cdot e^{i \cdot \frac{π}{2}} \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

= i \cdot 3 \cdot a \cdot e^{i \cdot ω \cdot t}

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01:46 Uhr, 16.09.2020

hey,

können sie mir es kurz und knapp erklären wie sie das gemacht haben?

was muss ich dazu können ich kann leider nichts zu diesem thema.. was soll ich mir angucken und lernen ?

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01:59 Uhr, 16.09.2020

ich verstehe langsam die Umformung aber verstehe manches nicht wie

z . b :

aufgabe

a .)

wenn ich den Term in die exponentielle form bringe warum habe ich in den klammern aufeinmal

(- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}})

bei der letzen Zeile kürzt sich die

\sqrt{2}

mit der

\frac{1}{\sqrt{2}}

weg ? ( also man multipliziert

\sqrt{2} \cdot a

mit der klammer ?

anonymous

02:42 Uhr, 16.09.2020

Komplexe Zahlen musst Du lernen, von der Pike auf, jawollja...

Das, was ich hier gemacht habe, sind einfach lauter kleine Kung-Fu-Tricks,

die der Mathematiker irgendwann einfach nur noch abruft.

Da wäre erstmal

e^{i \cdot α} = cos (α) + i \cdot sin (α)

(begegnet man

z . B

. in Otto Forsters "Analysis 1"),

somit

z . B

e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{4}} = cos (\frac{5 \cdot π}{4}) + i \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{2})

.

Nun weiß der kleine Mathikus

z . B

. direkt

cos (\frac{5 \cdot π}{4}) = sin (\frac{5 \cdot π}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2}},

weil er ein paar Werte und Gesetze rund um

die Trigonometrie auswendig kennt,

findet man

z . B

. auch in dem Buch vom Otto...

Das Rauskürzen hast Du ja schon erkannt, gut.

Meine geschlängelten Sonderzeichen da oben

beziehen sich übrigens auch auf die Formel

e^{i \cdot α} = cos (α) + i \cdot sin (α)

(nur noch mit einem Koeffizienten davor),

man soll halt die durch die Aufgabenstellung

gegebenen Formeln (bei

b)

nach Umformung)

mit dem Imaginärteil dieser Formel identifizieren,

grob gesagt (dazu ein Bild angehängt).

Zu all dem gibt es viel Material, dieses Skript

z . B

.

ist nicht verkehrt:

Google-suche:"Die komplexen Zahlen Kapitel 9",

dann pdf downloaden (für lau).

Also viel Spaß beim Lernen !

Roman-22

02:48 Uhr, 16.09.2020

Die Schwingung

y (t) = A \cdot s i n (ω t + φ)

schreibst du komplex in der Exponentialschreibweise als

\underline{y} = A \cdot e^{j \cdot (ω t + φ)} = A \cdot e^{j \cdot φ} \cdot e^{j ω t}

und der konstante Faktor

A \cdot e^{j \cdot φ}

ist die gesuchte komplexe Amplitude

\underline{A}

\underline{A}

ist also einfach eine komplexe Zahl, die zunächst in der Exponentialdarstellung gegeben ist und natürlich jederzeit auf dir hoffentlich bekannte Art in die Komponentenform (die bei euch als algebraische Darstellung bezeichnet wird) umgewandelt werden kann.

Bei deiner Aufgabe a) ist also

{\underline{A}}_{1} = \sqrt{2} \cdot a \cdot e^{j \cdot \frac{5 π}{4}} = \sqrt{2} \cdot a \cdot (c o s \frac{5 π}{4} + j \cdot s i n \frac{5 π}{4}) = \sqrt{2} \cdot a \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} - j \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = - a - j \cdot a

Dass

\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1

ist, das siehst aber schon, auch ohne, dass du erst

\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}

schreibst, oder?

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13:50 Uhr, 16.09.2020

Hey,

kannst du mir noch sagen wie ich von Exponentiell Funktion in die Kompetenten form komme , das weiß ich leider nicht.

Roman-22

14:43 Uhr, 16.09.2020

> kannst du mir noch sagen wie ich von Exponentiell Funktion in die Kompetenten form komme , das weiß ich leider nicht.

Du solltest dir dringend wenigstens die Grundlagen des Rechnens mit komplexen Zahlen aneignen, bevor du dich an solche Aufgaben ran machst!

Im Grunde wurde deine Frage ja schon beantwortet, aber zusammenfassend nochmals:

Exponentialform:

\underline{z} = r \cdot e^{j \cdot φ}

Komponentenform:

\underline{z} = a + j \cdot b

Und es gilt:

a = r \cdot \cos φ

und

b = r \cdot \sin φ

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15:19 Uhr, 16.09.2020

Danke für die Info , ich habe mir jeztz die Grundlagen von Komplexe Zahlen angeguckt aber trotzdem weiß ich nicht wie ich nicht wie du von

\sqrt{2} \cdot a \cdot (\frac{e^{i \cdot 5 (π)}}{4}) \cdot e^{i \cdot w \cdot t}

\sqrt{2} \cdot a \cdot (- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}}) \cdot e^{i \cdot w \cdot t}

kommst , was ist die regel da ?

Roman-22

16:14 Uhr, 16.09.2020

Den Zwischenschritt hatte ich dir doch vorhin angeschrieben!
Ich habe nur anstelle von

\frac{1}{\sqrt{2}}

den gleichwertigen Ausdruck

\frac{\sqrt{2}}{2}

verwendet, da man üblicherweise Wurzeln im Nenner vermeidet.
Und den Rest hat dir Wurzelgnom schon auf seine Art geschrieben. Die Winkelfunktionswerte von ein paar speziellen Winkeln sollte man halt parat haben und dafür nicht den TR zücken müssen.