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Sehnenviereck
Schüler Fachschulen, 8. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 16:05 Uhr, 04.05.2004  |
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Ich versuch schon seit fast ner Stunde folgende Aufgabe zu lösen: Vor.:Sehnenviereck ABCD mit a=4cm b=3,5cm c=5cm [alpha]=115 Grad Dabei darf ich keine Zusatzberechnung vornehmen. Ich weiß, dass ich zuerst die Gerade a zeichnen soll, mit [alpha] 115 Grad. So, und jetzt? Was muss ich als nächstes machen? Ich bekomms einfach nicht raus... |
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anonymous 17:18 Uhr, 04.05.2004 |
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Hallo Ronny! Ich versuche mal zu verstehn, was ein Sehnenviereck ist - und was in diesem Zusammenhang der Winkel {alpha} verkörpert... Es gibt ein Viereck ABCD so, dass die Eckpunkte A, B, C und D auf dem Radius eines Kreises liegen. --> Die Viereck-Kanten sind Sehnen des Kreises. Die Strecke AB heißt a. Der Mittelpunkt des Kreises sei M. Das Dreieck ABM besitzt in M den Winkel {alpha}. FRAGE: Wie groß ist d? Keine Zusatzrechnung - ist vorerst schwierig. Soll bedeuten, dass alle Nebenrechnungen in einer großen Formel zusammengefasst werden sollen. [DREIECK ABM] Das Dreieck ist ein Gleichschenkliges Dreieck (klar, da die beiden Schenkel den Radius des Kreises wiedergeben). Die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks ist 180°. Da {alpha} = 115°, bleiben noch 65°; die zu gleichen Teilen auf zwei Winkel verteilt werden müssen. --> {theta} = (180°-115°)/2 [TRIGONOMETRIE_1] ...kennst Du hoffentlich schon... Der Radius r kann wie folgt berechnet werden: Die Höhe auf a halbiert die Strecke a im Rechten Winkel. --> cos{theta} = (a/2)/r ==> r = cos{theta}/(a/2) ==> r = 2/a * cos{theta} ..ersetze {theta} --> r = 2/a * cos[(180°-115°)/2] [TRIGONOMETRIE_2] Wenn {alpha} der eingeschlossene Winkel AMB ist, ist {beta} der eingeschlossene Winkel BMC. Die Höhe auf b ... (s.o.) --> sin{beta} = (b/2)/r ==> {beta} = sin-1(b/2r) ..ersrtze r --> {beta} = sin-1[b/(2* 2/a * cos[(180°-115°)/2])] [TRIGONOMETRIE_3] Gleiches für {gamma}... --> {gamma} = sin-1[c/(2* 2/a * cos[(180°-115°)/2])] [WINKELSUMME_IM_KREIS] Der Vollkreis hat 360°. Wir haben bisher {alpha}, {beta} und {gamma} berechnet. Bleibt für {delta}: {delta} = 360°-{alpha}-{beta}-{gamma}. ..ersetzte {alpha};{beta};{gamma} --> {delta}=360°-115°-sin-1[b/(4/a * cos[(180°-115°)/2])]-sin-1[c/(4/a * cos[(180°-115°)/2])] [TRIGONOMETRIE_4] ...wie bisher: Höhe!... sin{delta/2} = (d/2)/r r*sin{delta/2) = d/2 2r*sin{delta/2} = d [RIESENFORMEL] d = 2 * 2/a * cos[(180°-115°)/2] * sin{360°-115°-sin-1[b/(4/a * cos[(180°-115°)/2])]-sin-1[c/(4/a * cos[(180°-115°)/2])]} [ERGEBNIS] d = ... haha! Selber rechnen! Gruß, Christian |
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Hallo Ronny aber statt Berechnen darf man schon die Eigenschaften des Sehnenviereckes ausnützen? Zum Beispiel, dass zwei gegenüberliegende Winkel 180 Grad, also einen gestreckten Winkel, ergeben? Dann würde ich so vorgehen: 1) Zeichne die Strecke BC = b = 3,5 cm und verlängere die Strecke über C hinaus. 2) Zeichne den Winkel 115 Grad bei C ein, aber von der rechten Seite von C aus gesehen (also mit der Verlängerung als Schenkel. Der Winkel gamma wird dann 65 Grad (ohne ihn berechnet zu haben!)) 3) Trage auf dem soeben gezeichneten Schenkel des Winkels gamma, vom C aus, 5 cm ab. Das gibt die Seite c, also auch den Punkt D erhalten. 4) Konstruiere den Umkreis des Dreieckes BCD. (Auf diesem Kreis muss A liegen) 5) Trage vom Punkt B aus 4 cm ab (mit dem Zirkel), so dass es mit dem Dreiecksumkreis einen Schnittpunkt gibt. Dieser Schnittpunkt ist der Punkt A. 6) Verbinde A mit D. Fertig! Ich hoffe, das war alles korrekt! Mit freundlichen Grüssen Paul P.S. Teilst du mit, ob es geklappt hat? |
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anonymous 21:25 Uhr, 04.05.2004 |
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Hi Paul! Äh... Wie sieht eigentlich ein Sehnenviereck aus??? Ganz erlich - ich hab keine Ahnung. Jedenfalls verstehe ich Deine Konstruktion nicht :-( Gruß, Christian |
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Hallo Christian fast so, wie du es beschrieben hast. Lediglich der Winkel Alpha ist nicht beim Mittelpunkt des Umkreises, sondern in der Ecke A. Es sind also die 4 Ecken A, B, C und D, alle auf einem Kreis liegend. Die Seite AB wird mit a bezeichnet, die Seite BC mit b usw. Der Winkel bei A ist Alpha, bei B Beta usw. Es gilt: Alpha + Gamma = Beta + Delta = 180 Grad. Mit lieben Grüssen Paul |
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anonymous 06:16 Uhr, 05.05.2004 |
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Hi Paul! Danke für die RICHTIGE Erklärung. Hi Ronny! Da ich den Winkel FALSCH angenommen habe, solltest Du meinen Lösungsansatz verwerfen und dich der Rechnung von Paul zuwenden. Gruß, Christian |
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Erstmal vielen Dank, für die antworten, nur gibt es da nen paar Problem: Bei Christian`s Erklärung hab ich so und so keine Ahnung worums da geht, da ich von diesem ganzen Trognomo... noch nie was gehört habe. Aber trotzdem danke. Und zu Paul`s: Punkt 2 versteh ich nicht ganz, denn [alpha] muss ja bei Punkt A liegen und nicht bei C. Obwohl es zwar auch logisch ist, dass der gegenüberliegende Winkel von [alpha] 65 Grad sein muss, darf man dass so nicht machen, da man sich nur an die Vorrausetztungen halten kann. Ich mein, selbst wenn man sich die 65 Grad denken kann, hat es doch etwas mit einer Berrechnung zu tun, so sagts jedenfalls unsre Lehrerin. Sie sagt auch, dass es nicht sein muss, dass das Sehnenviereck zu zeichnen geht, nur will sie dann dafür einen ordentlich Begründung...ich weiß einfach nicht was ich machen soll... Helft mir bitte noch mal. |
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anonymous 19:36 Uhr, 05.05.2004 |
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Hi Ronny! Also, Du sollst das Sehnenviereck konstruieren. Die Konstruktion von Paul ist absolut richtig. [KONSTRUKTION] Zeichne eine Gerade g Auf g liegen B, C und P. In der Reihenfolge B-C-Q; BC = b = 3,5cm CQ = irgendwas... (nur zu Konstruktionszwecken --> Paul) Trage den Winkel {alpha} = 115° von Q aus über C auf. ==> Für das Viereck ABCD wird dies zum Winkel {gamma} = 65° OHNE RECHNUNG Auf dem so gewonnenen Schenkel liegt nach c = 5cm der Punkt D Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf sowohl b als auch auf c ergeben den Mittelpunkt M des Kreises. Öffne den Zirkel von M bis B (wahlweise auch C oder D) und trage den Kreis um M über B,C und D auf. Ebenfalls auf dem Kreis liegt der Punkt A - im Abstand a = 4cm von B aus. ==> Zirkelradius = 4cm und Kreisbogen um B auftragen ==> Schnittpunkt des Kreisbogens und des Umkreises (des Vierecks) = A [ANMERKUNG] Sollte der Punkt A von B aus gesehen hinter D liegen, so ist das Viereck nicht konstruktionsfähig. So, das ist die Konstruktion, die Paul vorgeschlagen hat - und ich für absolut richtig halte. Es wurden keine Berechnungen angestellt --> Aufgabenstellung erfüllt. Gruß, Christian |
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anonymous 19:40 Uhr, 05.05.2004 |
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... [ANMERKUNG_2] Natürlich muss auch der Winkel {alpha} = 115° von A aus aufgetragen werden und im Punkt D enden. Sollte dies nicht der Fall sein, ist das Viereck nicht konstruierbar. Christian |
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Hallo Christian das mit dem Berechnen sehe ich nicht so wie deine Lehrerin. Denn es wird ja verlangt, dass ein Sehnenviereck gezeichnet werde. Und die Tatsache, dass die Gegenüberliegenden Winkel sogenannte Supplementwinkel sind, hat absolut nichts mit berechnen zu tun. Das ist nämlich lediglich eine Eigenschaft des Sehnenvierecks, genauso, wie die Tatsache, dass alle Ecken auf dem gleichen Kreis liegen, eine Eigenschaft des Sehnenvierecks ist. (Man berechnet ja auch nicht den Abstand des Umkreismittelpunktes von A und setzt ihn gleich dem Abstand des Mittelpunktes von B, man konstruiert es einfach). Und Supplementwinkel bilden nun mal zusammen eine Gerade (ich nenne jetzt absichtlich keine Zahlen). Und zu einem gegebenen Winkel konstruiert man den Supplementwinkel, indem man einen Schenkel über die Spitze hinaus verlängert. Dies ist keine Berechnung, sondern eine Konstruktion!! Das darfst du ruhig ausdrucken und deiner Lehrerin zeigen. Sie wirds wohl akzeptieren müssen! Mit lieben Grüssen Paul |
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anonymous 20:23 Uhr, 05.05.2004 |
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Hi Paul! Ich bin Christian. Die Frage kam von Ronny... ;-) Gruß, Christian |
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Danke es gilt auch für dich! ;-) Liebe Grüsse an auch alle |
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Ich möchte mich bei euch beiden nochmal rechtherzlich dafür bedanken, dass ihr mir geholfen habt. Dank euch hab ich eine 1 bekommen (war der einzige)... Das werd ich euch nie vergessen ;)...nochmal...danke! |
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hey kann mir jemand sagen wie das dreieck konstruiert wird?? a=6.5 cm b=4.8cm c=3.2cm wäre sehr lieb von euch bitte noch heute melden!!!!! eure anna |
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