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Sei A ⊂ R^n ein affiner Unterraum und f : A → A ei

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Tags: affin, affine Unterräume

Maxi19967890 aktiv_icon

23:16 Uhr, 10.06.2019

Sei A ⊂

R^{n}

ein affiner Unterraum und

f : A

→ A eine Dilatation, das ist eine bijektive affine
Abbildung mit

g | | f (g)

fur jede Gerade ¨

g

⊂ A. Zeigen Sie:

f

ist Verknupfung einer zentrischen ¨
Streckung,

d . h

. es gibt

z

∈ A und λ ∈

K

mit a 7→ λa

+ (1

− λ)z, mit einer Translation.

Könnte mir hier jemand behilflich sein?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

09:49 Uhr, 11.06.2019

Hallo,
ich kenne eure Bezeichnungen nicht, daher führe ich hier
für mich praktische Bezeichnungen ein.
Zu zwei Punkten

p, q \in A

sei

q - p

der "Verbindungsvektor" von

p

q

(wird häufig auch als

\vec{p q}

geschrieben).
Sei

r := \dim A

. Dann gibt es

r + 1

affin unabhängige Punkte

p_{0}, p_{1}, \dots, p_{r}

,
die

A

affin aufspannen.
Da unter

f

Geraden in parallele Geraden überführt werden, werden
Richtungsvektoren von Geraden in skalare Vielfache abgbildet:

f (p_{i}) - f (p_{0}) = λ_{i} (p_{i} - p_{0})

mit

λ_{i} \in ℝ

für

i = 1, \dots, r

.

Für jedes Paar

i, j = 1, \dots, r

mit

i \neq j

gilt nun einerseits

f (p_{j}) - f (p_{i}) = (f (p_{j}) - f (p_{0})) - (f (p_{i}) - f (p_{0})) = λ_{j} (p_{j} - p_{0}) - λ_{i} (p_{i} - p_{0}) (1)

und andererseits mit einem geeigneten

λ

f (p_{j}) - f (p_{i}) = λ (p_{j} - p_{i}) = λ ((p_{j} - p_{0}) - (p_{i} - p_{0})) = λ (p_{j} - p_{0}) - λ (p_{i} - p_{0}) (2)

Für

i \neq j

sind die Vektoren

p_{j} - p_{0}

und

p_{i} - p_{0}

nach Voraussetzung
linear unabhängig. Schließe daraus

λ_{i} = λ

für alle

i = 1, \dots, r

.

Nun kommst du vielleicht alleine weiter?

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

23:04 Uhr, 12.06.2019

Hallo,
bist du denn nun damit weitergekommen?
Ein Lebenszeichen wäre ganz schön ...
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

14:56 Uhr, 13.06.2019

Hallo,
der Fragesteller scheint untergetaucht zu sein.
Für alle Mitleser will ich aber dennoch den Beweis zu Ende führen:
Wir haben

A = p_{0} + s p a n (p_{1} - p_{0}, \dots, p_{r} - p_{0})

und wir haben herausbekommen, dass

f (p) - f (p_{0}) = λ (p - p_{0})

ist,
also

f (p) = f (p_{0}) + λ (p - p_{0}) = λ p + f (p_{0}) - λ p_{0} =

λ p + (f (p_{0}) - p_{0}) + p_{0} - λ p_{0} = λ p + (1 - λ) p_{0} + t

,
wobei

t := f (p_{0}) - p_{0}

die Translation des "Aufpunkts" darstellt.
Damit ist gezeigt, dass

f

die geforderte Gestalt hat.
Gruß ermanus

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