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Sei A ⊂ R^n ein affiner Unterraum und f : A → A ei

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: affin, affine Unterräume

 
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Maxi19967890

Maxi19967890 aktiv_icon

23:16 Uhr, 10.06.2019

Antworten
Sei A ⊂ Rn ein affiner Unterraum und f:A → A eine Dilatation, das ist eine bijektive affine
Abbildung mit g||f(g) fur jede Gerade ¨ g ⊂ A. Zeigen Sie: f ist Verknupfung einer zentrischen ¨
Streckung, d.h. es gibt z ∈ A und λ ∈ K mit a 7→ λa +(1 − λ)z, mit einer Translation.

Könnte mir hier jemand behilflich sein?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:49 Uhr, 11.06.2019

Antworten
Hallo,
ich kenne eure Bezeichnungen nicht, daher führe ich hier
für mich praktische Bezeichnungen ein.
Zu zwei Punkten p,qA sei q-p der "Verbindungsvektor" von p zu q
(wird häufig auch als pq geschrieben).
Sei r:=dimA. Dann gibt es r+1 affin unabhängige Punkte p0,p1,,pr,
die A affin aufspannen.
Da unter f Geraden in parallele Geraden überführt werden, werden
Richtungsvektoren von Geraden in skalare Vielfache abgbildet:

f(pi)-f(p0)=λi(pi-p0) mit λi für i=1,,r.

Für jedes Paar i,j=1,,r mit ij gilt nun einerseits

f(pj)-f(pi)=(f(pj)-f(p0))-(f(pi)-f(p0))=λj(pj-p0)-λi(pi-p0)(1)

und andererseits mit einem geeigneten λ:

f(pj)-f(pi)=λ(pj-pi)=λ((pj-p0)-(pi-p0))=λ(pj-p0)-λ(pi-p0)(2)

Für ij sind die Vektoren pj-p0 und pi-p0 nach Voraussetzung
linear unabhängig. Schließe daraus λi=λ für alle i=1,,r.

Nun kommst du vielleicht alleine weiter?

Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:04 Uhr, 12.06.2019

Antworten
Hallo,
bist du denn nun damit weitergekommen?
Ein Lebenszeichen wäre ganz schön ...
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:56 Uhr, 13.06.2019

Antworten
Hallo,
der Fragesteller scheint untergetaucht zu sein.
Für alle Mitleser will ich aber dennoch den Beweis zu Ende führen:
Wir haben A=p0+span(p1-p0,,pr-p0)
und wir haben herausbekommen, dass
f(p)-f(p0)=λ(p-p0) ist,
also
f(p)=f(p0)+λ(p-p0)=λp+f(p0)-λp0=
λp+(f(p0)-p0)+p0-λp0=λp+(1-λ)p0+t,
wobei t:=f(p0)-p0 die Translation des "Aufpunkts" darstellt.
Damit ist gezeigt, dass f die geforderte Gestalt hat.
Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.