Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Inverses Element

Inverses Element

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Element, Inverse Element, Menge, Monoid

Lunaticgirl aktiv_icon

14:01 Uhr, 10.11.2019

Hey Leute,
ich bräuchte jemanden, der mir bei der Aufgabe hilft.

1. Sei (M,∗) ein Monoid, also eine Halbgruppe mit neutralem Element

e

∈ M. Bezeichne M∗ die Menge der Elemente aus

M,

für die ein inverses Element in

M

existiert.

a)Zeigen Sie, dass

e

∈ M∗.

Wenn

e

∈

M,

dann gilt: Es existiert ein

e

Element zu

M : = x \cdot e = x

und

e \cdot x = x

.
Die Bedinung, dass

x

ein inverses Element zu

e

ist, ist: Es existiert ein

e

Element zu

M \cdot : = e \cdot x = x \cdot e = e

Diese Gleichung wird durch

x = e

erfüllt. Also ist das inverse Element zu

e

wieder

e

.

b)Zeigen Sie, dass

x, y

∈ M∗ ⇒

x

∗

y

∈ M∗

{(x \cdot y)}^{- 1} = y^{- 1} \cdot x^{- 1}

y^{- 1} \cdot x^{- 1} = y^{- 1} x^{- 1} \cdot 1 = y^{- 1} x^{- 1} (x \cdot y) {(x \cdot y)}^{- 1}

= y^{- 1} (x^{- 1} x) \cdot y (x \cdot y) -^{1} = y^{- 1} y {(x \cdot y)}^{- 1} = {(x \cdot y)}^{- 1}

c)Zeigen Sie, dass

x

∈ M∗ ⇒ x^−1 ∈ M∗, wobei x^−1 das zu

x

inverse Element ist.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

15:52 Uhr, 10.11.2019

Hallo,
a) ist OK.
ebenso bei b) deine Angabe des Inversen zu

x y

. Fehlt nur eine verbindender
erkläremder Text. Gewöhne es dir an, dem Leser / Korrektor etc.
einen klaren, in sich verständlichen, logisch möglichst lückenlosen
mathematischen Text zu präsentieren.
c) dürfte wohl nicht schwer sein angesichts

x = (x^{- 1})^{- 1}

.
Gruß ermanus

Lunaticgirl aktiv_icon

16:03 Uhr, 10.11.2019

Hey,

bei

b)

Seien

x, y

∈

M \cdot

. Dann ist (y^−1*x^−1)*(x*y) = y^−1*(x^−1*x)*y = y^−1*y

= e = x \cdot x =

x*y*y^−1*x^−1 = (x*y)*(x^−1*y^−1). Damit ist per Definition y^−1*x^−1 ein Inverses (das Inverse) von

x \cdot y

.

bei

c)

Sei

x \cdot x^{- 1} = e

Außerdem sei

{(x^{- 1})}^{- 1} \cdot x^{- 1} = e

damit hat

x^{- 1} 2

inversen:

1.

x

{(x^{- 1})}^{- 1}

da eine inverse eindeutig ist gilt dass

x = {(x^{- 1})}^{- 1}

beweis:

x = x \cdot e = x' (x^{- 1} \cdot {(x^{- 1})}^{- 1})

= (x \cdot x^{- 1}) \cdot {(x^{- 1})}^{- 1}

= e \cdot {(x^{- 1})}^{- 1}

= {(x^{- 1})}^{- 1}

ermanus aktiv_icon

16:11 Uhr, 10.11.2019

Vielleicht so:

x \in M^{*} \Rightarrow \exists x^{- 1} \in M

, so dass

x^{- 1} \cdot x = e

.
also ist

x

ein Inveres zu

x^{- 1}

und damit

x^{- 1}

M

invertierbar, folglich

x^{- 1} \in M^{*}

Lunaticgirl aktiv_icon

16:13 Uhr, 10.11.2019

Was hältst du von meiner Schreibweise ?

LG

ermanus aktiv_icon

16:26 Uhr, 10.11.2019

Dass

x

und

x^{- 1}

wechselseitig zueinander Inverse sind,
ist eigentlich eine Trivialität. Du gibst dir an dieser Stelle
zu viel "überflüssige" Mühe. Wichtiger ist den Folgerungsstrang
klar darzustellen. Und dessn Anfang ist nun mal die Prämisse:
Sei