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Sekantenmethode Iterationsvorschrift

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

 
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Mili789

Mili789 aktiv_icon

18:57 Uhr, 11.12.2020

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Unten seht ihr ein Bild zur Sekantenmethode. Den Sinn dahinter verstehe ich nur habe ich leider keine Ahnung wie ich mir die Iterationsvorschrift herleiten kann. Ich brauche noch eigentlich die Nullstelle oder?

Unbenannt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

19:41 Uhr, 11.12.2020

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Hallo,

bei diesen Verfahren (Newton, Sekanten) geht man im n-ten Iterationsschritt von eine Geraden aus, die (so di Hoffnung) den Graphen von F annähert, also

g(x)=F(xn)+sn⋅(x-xn)

Damit ist gesichert, dass g(xn)=F(xn), die Gerade geht also durch den Punkt (xn,F(xn)). Festzulegen ist noch die Steigung sn. Beim Newton-Verfahren setzt man sn=F'(xn), die Gerade ist dann Tangente. Bei Sekantenverfahren eben den Differenzenquotienten, die Gerade ist dann Sekante durch (xn,F(xn)) und (xn-1,F(xn-1)).

In jedem Fall bestimmt man den nächsten Iterationspunkt durch die Bedingung g(xn+1)=0.

Gruß pwm
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N8eule

N8eule

23:46 Uhr, 11.12.2020

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Hallo
Wenn ich ergänzen darf...

"nur habe ich leider keine Ahnung wie ich mir die Iterationsvorschrift herleiten kann."
Du musst dir klar machen, was du weißt, d.h. was bekannt ist,
und was du nicht weißt, d.h. was du suchst.

Du solltest dir klar machen, dass du zu irgend einem Iterationszeitpunkt weißt (bekannt ist):
> welche Iterationsstelle du im vorletzten Schritt genutzt hast, das ist xm-1,
> welchen Funktionswert du im vorletzten Schritt errechnen konntest, das ist F(xm-1),
> welche Iterationsstelle du im letzten Schritt genutzt hast, das ist xm,
> welchen Funktionswert du im letzten Schritt errechnen konntest, das ist F(xm).

Jetzt solltest du dir klar machen, was du suchst.
Das wird doch eine verbesserte Iterationsstelle sein, also das xm+1.

Und methodisch soll ja hierzu die Sekante, die Gerade durch die beiden vorigen Punkte genutzt werden,
namentlich natürlich deren Nullstelle.

Du fragst:
"wie ich mir die Iterationsvorschrift herleiten kann."

Dazu mein Tipp:
Führ dir das blaue Dreieck vor Augen;
führ dir das braune Dreieck vor Augen;
denk an den Strahlensatz;
setz den Strahlensatz mit den benannten Größen als Gleichung an;
lös die Gleichung nach der Unbekannten (d.h. nach xm+1) auf...

Viel Erfolg!


online82
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