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Selbstadjungiert + Phi-invariant

Universität / Fachhochschule

Tags: invariant, Selbstadjungiert, Unterraum

8mileproof aktiv_icon

14:07 Uhr, 09.07.2012

hallo,

ich komm mit folgendem beweis nicht klar.
gegeben

: B

Orthonomalbasis von

V, φ

in End(V) und

U

Unterraum von

V

Die Aussage ist

: φ

selbstadjungiert,

U

phi-invarianter Unterraum

\Rightarrow U^{⊥}

phi-invarianter Unterraum

ich habe mir dazu alle möglichen Definitionen angeschaut:

φ

in End(V) heißt selbstadjungiert, wenn für

v, w \in V

gilt :

< φ (v), w > = < v, φ (w) >

sei

U

Unterraum von

V

und

u \in U,

dann ist

U

phi-invariant, wenn

φ (u) \in U

aber einen wirklichen Ansatz habe ich nicht. kann mir da jmd. weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:21 Uhr, 09.07.2012

Hallo,

einfach!

U^{⊥} = {v \in V ∣ \forall u \in U : u ⊥ v}

per definitionem.

u ⊥ v : \overset{}{\Leftrightarrow} 〈 u, v 〉 = 0

sollte man dann noch reinstecken und eben

〈 φ (v), w 〉 = 〈 v, φ (w) 〉

. Ach, ja, steht ja auch in den Voraussetzungen:

U

ist

φ

-invariant, d.h.

φ (U) \subseteq U

.

Versuch doch mal diese vier Bausteine zusammenzusetzen.

Mfg Michael

8mileproof aktiv_icon

15:00 Uhr, 09.07.2012

hallo, also ich habe jetzt folgendes gemacht:

sei

v \in V, u \in U

< φ (v), u > = < v, φ (u) > = 0

war das so gemeint ?

hagman aktiv_icon

18:18 Uhr, 09.07.2012

Nee, überlege wie folgt:
Sei

u \in U^{⊥}

. Zu zeigen ist, dass

φ (u) \in U^{⊥}

.
Sei also

v \in V

beliebig. Zu zeigen ist, dass

〈 φ (u), v 〉 = 0

.
Weil

φ

selbstadjungiert ist, kannst du

〈 φ (u), v 〉

wie umformen?
Weil

u \in U^{⊥}

ist weisst du was über den umgeformten Ausdruck?

8mileproof aktiv_icon

17:50 Uhr, 22.07.2012

also:

ich habe den ausdruck umgeformt zu:

< φ (u), v > = < u, φ (v) > = 0

u \in U^{⊥}

ist, ist doch der umgeformte ausdruck

< u, φ (v) >

gleich 0.

oder?

michaL aktiv_icon

18:50 Uhr, 22.07.2012

Hallo,

ja.
Um das aber als Beweis zu akzeptieren, würde ich noch Details erwarten.
Der Raum

U^{⊥}

ist über Quantoren definiert. Die fehlen bei dir völlig. Es findet sich "nur" der springende Punkt.

Mfg Michael

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