Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Separieren der Variablen

Separieren der Variablen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Separieren

fdrews aktiv_icon

12:42 Uhr, 31.01.2015

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

x' (t) = x (t) - x^{2} (t)

durch Trennung der Variablen. Welche Lösungen erfüllen die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion? Welche Lösung hat den Anfangswert

x (0) = 0.5

\frac{d x (t)}{d x} = x (t) - x^{2} (t)

Beide Seiten durch

x (t) - x^{2} (t)

dividiert:

\frac{\frac{d x (t)}{d x}}{x (t) - x^{2} (t)} = 1

Dann das unbestimmte Integral von

t

bilden:

\int \frac{\frac{d x (t)}{d x}}{x (t) - x^{2} (t)} d t = \int 1 d t

ab dieser Stelle bräuchte ich ein wenig Hilfe.

Vielen Dank schon mal im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Loewe1

12:53 Uhr, 31.01.2015

Hallo

indem Du das linke Integral schreibst in:

\int \frac{1}{x (1 - x)}

und das kannst Du durch Partialbruchzerlegung lösen.

Zum Vergleich das Ergebnis:

\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1}

fdrews aktiv_icon

13:09 Uhr, 31.01.2015

Okay ich hab die ganze Sache mal parallel, bei einer bekannten Suchmaschine, die auch Mathe-Aufgaben löst, eingegeben damit ich mal Ansatzweise ein Ergebnis bekomme. Der spuckt mir folgende Lösung aus, ein Ausschnitt ab der Bildung des unbestimmten Integrals.

Evaluate the integrals:

- log (- x (t) + 1) + log (x (t)) = t + c_{1},

where

c_{1}

is an arbitrary constant.

Ergebnis:

x (t) = \frac{e^{t + c_{1}}}{e^{t + c_{1}} + 1}

Da komm ich nicht ganz mit.

Loewe1

13:28 Uhr, 31.01.2015

Hallo,

Wenn Du das integrierst , kommst Du auf

ln | x | - ln | x - 1 | = t + c

ist doch das Gleiche, wie:

ln | x | - ln | - x + 1 | = t + c

Außderdem und ganz wichtig, bei der Maschine fehlt das Betragszeichen

Es ist

\int \frac{1}{x} d x = ln | x | + C

und nicht mit runden Klammern.

fdrews aktiv_icon

13:43 Uhr, 31.01.2015

Okay also beim linken Integral hast Du ein

x

im unteren Bruch ausgeklammert und dann eine Partialbruchzerlegung angewandt?

\int \frac{\frac{d x (t)}{d x}}{x (t) - x^{2} (t)} d t = \int \frac{1}{x (x - 1)} d t

Entschuldige das ich so im Detail nachfragen muss, aber Mathe 2 habe ich vom 2 Semester bis zum 7. Semester geschoben. :-) Das heißt ich habe eine lange Zeit ohne Mathe verbracht.

Loewe1

13:58 Uhr, 31.01.2015

Hallo,

Schau Dir das in Ruhe an :

fdrews aktiv_icon

14:05 Uhr, 31.01.2015

Vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen. Das war soweit die schwierigste Differentialgleichung die ich in den Prüfungen gefunden habe.

Loewe1

14:09 Uhr, 31.01.2015

Ja verstehe ich, nach "so relativ langer Zeit" wird das nicht einfacher.
Bitte: Wenn Du hierzu keine Fragen mehr hast setze ein Haken.
Andernfalls frage ruhig weiter , ich helfe Dir gern weiter .

anonymous

14:17 Uhr, 31.01.2015

Hallo
Ein klein wenig verwirrst du dich selbst auch mit deiner komischen Schreibweise, die formal noch dazu schlichtweg falsch ist.

Vermutlich wolltest du schreiben und meinen:

x' (t) = x (t) - x^{2} (t)

\frac{d x}{d t} = x - x^{2}

\frac{d x}{x - x^{2}} = d t

\int \frac{d x}{x - x^{2}} = \int d t

fdrews aktiv_icon

14:33 Uhr, 31.01.2015

Ja Danke Cositan das sieht schon mal enorm strukturierter aus.

Letztlich bleibt bei mir jetzt nur noch die Frage wie man hier auf

ln|x|− ln|x−1|=

t + c

kommt.

Und dann der Weg zum Endergebnis

x (t) = \frac{e^{t + c}}{e^{t + c} + 1}

Loewe1

14:52 Uhr, 31.01.2015

Hallo,

hier nun der Weg:

Wichtiger Hinweis: Eine Maschine rechnet anders als ein Mensch. Deswegen wirst Du immer mal "andere" Ergebnisse sehen, die dann meistens durch entsprechende Umformungen sich doch als gleich erweisen.

:-)