Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Sichel-Fläche mit zwei unterschiedlichen Radien

Sichel-Fläche mit zwei unterschiedlichen Radien

Universität / Fachhochschule

Tags: sichel fläche

Hexenkind aktiv_icon

09:21 Uhr, 23.07.2014

Hallo zusammen,

ich habe das Internet durchforstet, aber nie genau diesen Fall gefunden.

Ich habe zwei Kreise, die sich im Radius voneinander unterscheiden (beide bekannt).
Die beiden Kreise sollen so überschneiden, dass ich eine bekannte Sichel-Fläche A erhalte.

Die Zeichnung verdeutlicht das ganze.
Ich möchte wissen, wie

x

lauten muss, um A (ist bekannt) zu erhalten.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Bummerang

10:26 Uhr, 23.07.2014

Hallo,

die Fläche eines Kreissegments errechnet sich durch

A_{s} = \frac{r \cdot b}{2} - \frac{s \cdot (r - h)}{2}

mit

b =

Bogenlänge des Kreissegments,

s =

Sehnenlänge des Kreissegments und

h =

Höhe des Kreissegments. Dabei kann man

b

und

h

noch durch

r

und

s

ersetzen, denn es gilt:

b = 2 \cdot r \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot r})

h = r - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot r^{2} - s^{2}}

Das ergibt zusammen:

A_{s} = r^{2} \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot r}) - \frac{s \cdot \sqrt{4 \cdot r^{2} - s^{2}}}{4}

Jetzt gilt für die Sichel, dass die Fläche die Differenz der Flächen zweier solcher Kreissegmente ist, der Fläche

A_{R}

des Kreissegments des größeren Kreises mit dem Radius

R

und der Fläche

A_{r}

des Kreissegments des kleineren Kreises mit dem Radius

r

. Beide Kreissegmente haben die selbe Sehnenlänge

s,

Damit ergibt sich:

A = A_{R} - A_{r} = R^{2} \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot R}) - \frac{s \cdot \sqrt{4 \cdot R^{2} - s^{2}}}{4} - r^{2} \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot r}) + \frac{s \cdot \sqrt{4 \cdot r^{2} - s^{2}}}{4}

A = R^{2} \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot R}) - r^{2} \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot r}) - \frac{s \cdot \sqrt{4 \cdot R^{2} - s^{2}}}{4} + \frac{s \cdot \sqrt{4 \cdot r^{2} - s^{2}}}{4}

A = R^{2} \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot R}) - r^{2} \cdot {sin}^{- 1} (\frac{s}{2 \cdot r}) - \frac{s}{4} \cdot (\sqrt{4 \cdot R^{2} - s^{2}} - \sqrt{4 \cdot r^{2} - s^{2}})

Das musst Du nur noch nach

s

umstellen, Scherz beiseite, Du musst irgendwie eine Lösung für

s

finden. Mit den beiden Formeln für die Höhen der Kreissegmente erhältst Du letztendlich die gesuchte "Dicke"

x

der Sichel.

x = h_{R} - h_{r} = R - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot R^{2} - s^{2}} - r + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot r^{2} - s^{2}} = R - r - \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{4 \cdot R^{2} - s^{2}} - \sqrt{4 \cdot r^{2} - s^{2}})

Atlantik aktiv_icon

10:42 Uhr, 23.07.2014

Möglich ist auch eine Lösung über die Integration:

Ich habe eine Zeichnung angehängt.

mfG

Atlantik

Hexenkind aktiv_icon

11:00 Uhr, 23.07.2014

Vielen Dank für die tolle Hilfe!

War das Programm mit dem Integral DynaGeo?

Atlantik aktiv_icon

11:04 Uhr, 23.07.2014

Die Zeichnung habe ich mit GeoGebra erstellt (kannst du downloaden).

mfG

Atlantik

1178640

1178619

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?