Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Sigma-Additivität zeigen

Sigma-Additivität zeigen

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Additivität, Maßtheorie, Sigma, Sigma Algebra

LuciaSera aktiv_icon

15:18 Uhr, 10.11.2018

Sei

X

eine überabzählbare Menge und sei

μ : p (X) \to [0, + \infty]

μ (A) = {n

falls

| A | = n

und

+ \infty

für unendliche Mengen

A}

Zeigen Sie, dass
(a)

μ

ein Maß ist.
(b)

μ

nicht

σ

-endlich ist.

Für

(a)

muss ich folgendes prüfen:
(1)

μ (\emptyset) = 0

(2)

A'_{n} \in A

für

n \geq 1

mit

A'_{i} \cap A'_{j} = \emptyset (i \neq j) \Rightarrow μ (⋃_{n = 1}^{\infty} A'_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A'_{n})

Und

(2)

ist die

σ

-Additivität.

Für

(1)

geht alles klar, denn

| \emptyset | = 0,

also ist

μ (\emptyset) = 0

. Fertig.

Für

(2)

denke ich möglicherweise zu kompliziert. Aber mir leuchtet nicht ein, wie ich für unendliche Mengen zeigen kann, dass diese Gleichheit gilt.

Und für

(b)

haben wir folgendes aufgeschrieben:
"Ein Maß heißt

σ

-endlich, falls

\exists (A'_{n}) \subseteq A

mit

μ (A'_{n}) < + \infty, \forall n \in ℕ

und

Ω = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}

.

Wenn mein Maß

σ

-endlich wäre, dann müsste ja eben mein

μ (A_{n}) < + \infty

sein. Das gilt aber mMn nur für die leere Menge, sprich wenn

A_{1} = \emptyset

. Sobald ich nun aber

z . B

A_{2}

habe, welche alle einelementigen Teilmengen von

P (X)

enthalten müsste, dann kann diese schon nicht mehr

< + \infty

sein, da

X

überabzählbar ist und die Potenzmenge

P (X)

eienr überabzählbaren Menge auch auf jeden Fall wieder überabzählbar ist. Dies gilt immerhin schon für abzählbare Mengen.

Aber wäre das ein zulässiger 'Beweis'?

Bräuchte dringend Hilfe bei

(2)

und

(b)

. Danke! :-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1446171

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?