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Sigma-Algebra der Borelmengen

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Tags: Sigma Algebra

 
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Mo007

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00:21 Uhr, 07.01.2015

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Frohes neues Jahr allerseits!

Also, ich sitze hier vor einer Aufgabe und hab ehrlich gesagt nicht den blassesten Schimmer, wie ich da ran gehen soll. Wir haben gestern erst mit dem Thema angefangen und ich hab das Gefühl, dass ich da irgendwie noch gar nichts verstanden habe und ich hoffe, ihr könnt mir irgendwie helfen.

Hier erstmal die Aufgabe:

Es sei B die σ-Algebra der Borelmengen auf und B[0;1] definiert durch

B[0;1]={A[0;1]:AB}

Beweisen Sie, dass B[0;1] eine σ-Algebra auf [0;1] ist. Beachten Sie, dass nun die Ergebnismenge [0;1] ist, das Komplement also bezüglich dieser Menge zu bilden ist. B[0;1] wird σ-Algebra der Borelmengen auf [0;1] und auch Spur von B in [0;1] genannt.


So, eine σ-Algebra hatten wir in der Vorlesung wie folgt definiert:

Sei Ω und F eine Menge von Teilmengen von Ω. Dann heißt F eine σ-Algebra, falls

i) ΩF
ii) AFA=ΩAF
iii) A1,A2,...Fk=1AkF

Und dann hatten wir noch den folgenden Satz dazu:

Ist F eine σ-Algebra, so gilt:

1. =Ω
2. A,BFABF
3. A1,A2,...Fk=1AkF

Aber wie soll ich denn jetzt mit diesen Informationen zeigen, dass etwas eine σ-Algebra ist? Ich muss ja sicherlich die Definition und den Satz anwenden aber leider helfen mir diese überhaupt nicht dabei zu verstehen, was eine σ-Algebra eigentich ist. Ich kann mir darunter momentan überhaupt nichts vorstellen und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Mo007

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10:16 Uhr, 08.01.2015

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Hat denn keiner eine Idee zu dieser Aufgabe? Ich steh da leider komplett auf'm Schlauch und brauche da wirklich dringend Hilfe. Also, es geht mir vor allem darum zu verstehen, was denn nun eine Sigma-Algebra ist.
Antwort
DrBoogie

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10:34 Uhr, 08.01.2015

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"Also, es geht mir vor allem darum zu verstehen, was denn nun eine Sigma-Algebra ist"

Du hast doch selber die Definition geschrieben. Das ist Sigma-Algebra - eine Ansammlung von Mengen, welche 3 Eigenschaften erfüllt.
In Deinem konkreten Fall ist Ω=[0,1]. Und da Du schon weißt, dass Borel-Mengen eine σ-Algebra bilden, ist Deine Aufgabe absolut trivial. Du musst nur i), ii), iii) nachweisen.
i) ist geschenkt, ii) geht so: AB[0,1]=> A ist eine Borel-Menge und A liegt in [0,1] => Ω\A=[0,1]\A ist auch eine Borel-Menge und liegt auch in [0,1]=> Ω\AB[0,1], iii) geht ähnlich.

Mo007

Mo007 aktiv_icon

17:24 Uhr, 08.01.2015

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Hallo DrBoogie,

vielen Dank erstmal für deine Antwort. Für mich ist die Aufgabe leider nicht so trivial, weil mir wie gesagt da immernoch das Vorstellungsvermögen fehlt. Nun gut, dann versuch ich mal einfach stur die Definition anzuwenden.

Also, dass Ω=[0,1] hast du einfach aus der Anmerkung unter der eigentlichen Aufgabe genommen, oder? Weil da steht ja, dass die Ergebnismenge [0,1] sein soll.

Bei i) müsste ich ja dann zeigen, dass Ω=[0,1]B[0,1]. Was meinst du jetzt aber mit "i) ist geschenkt"? Kann ich das einfach annehmen oder wie soll ich das verstehen?

Wenn ich bei ii) davon ausgehe, dass AB[0.1], dann ist ja klar, dass A[0,1] gelten muss, weil sonst würde das ja mit der Schnittmenge A[0,1] nicht mehr funktionieren, richtig? Und dass A eine Borelmenge ist, ergibt sich ja aus AB und B soll ja die Sigma-Algebra der Borelmengen sein. Ok, mir ist auch klar, dass A=ΩA=[0,1]A ist. Und da ja A[0,1], muss auch [0,1]A[0,1] gelten. Aber warum folgt denn jetzt daraus, dass ΩAB[0,1] gilt? B[0,1] ist doch nicht [0,1] sondern eben die Schnittmenge von [0,1] und A. Das mag mir irgendwie nicht einleuchten. :-(




Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:44 Uhr, 08.01.2015

Antworten
" Für mich ist die Aufgabe leider nicht so trivial, weil mir wie gesagt da immernoch das Vorstellungsvermögen fehlt."

Was eine allgemeine Borelmenge ist, kann sich eigentlich niemand vorstellen. Aber grob gesagt, sind es einfach "gute" Teilmengen von . Alle Intervalle sind Borelmengen, alle offenen Teilmengen von sind Borelmengen, auch alle geschlossenen Teilmengen von sind Borelmengen und überhaupt ist es sogar sehr schwierig, eine Menge zu konstruieren, die keine Borelmenge ist.

"Also, dass Ω=[0,1] hast du einfach aus der Anmerkung unter der eigentlichen Aufgabe genommen, oder?"

Ich habe das direkt aus der Aufgabenstellung genommen: "Beweisen Sie, dass B[0;1] eine σ-Algebra auf [0;1] ist." Denn "auf [0,1]" bedeutet genau, dass Ω=[0,1].


"Bei i) müsste ich ja dann zeigen, dass Ω=[0,1]B[0,1]. Was meinst du jetzt aber mit "i) ist geschenkt"? Kann ich das einfach annehmen oder wie soll ich das verstehen?"

Du solltest es so verstehen, dass dieser Punkt offensichtlich ist. Für Dich aber anscheinend nicht. Daher Beweis: [0,1]B[0,1], weil [0,1][0,1] und [0,1] eine Borelmenge ist (als ein Intervall).

"Wenn ich bei ii) davon ausgehe, dass AB[0,1], dann ist ja klar, dass A[0,1] gelten muss, weil sonst würde das ja mit der Schnittmenge A∩[0,1] nicht mehr funktionieren, richtig?"

Hälst Du "sonst würde es nicht mehr funktionieren" für eine mathematische Argumentation? ;-)
Nein, so kannst Du es nicht begründen.
Das geht so: wenn AB[0,1], dann A[0,1] (und nicht A[0,1], diese Schreibweise ist falsch) nach der Definition von B[0,1]. Zur Erinnerung: B[0,1] besteht aus allen Borelmengen, die gleichzeitig Teilmengen von [0,1] sind.

"Und dass A eine Borelmenge ist, ergibt sich ja aus AB und B soll ja die Sigma-Algebra der Borelmengen sein. Ok, mir ist auch klar, dass A=ΩA=[0,1]A ist. Und da ja A[0,1], muss auch [0,1]A[0,1] gelten. Aber warum folgt denn jetzt daraus, dass ΩAB[0,1] gilt?"

Weil Borelmengen eine σ-Algebra bilden. Deshalb folgt aus A - Borel-menge, dass auch [0,1]\A=[0,1](\A) eine Borel-Menge ist. Und da [0,1]\A auch eine Teilmenge von [0,1] ist, liegt [0,1]\A in B[0,1].

"B[0,1] ist doch nicht [0,1] sondern eben die Schnittmenge von [0,1] und A."

Das ist nun leider total falsch. B[0,1] ist keine Schnittmenge [0,1] und A und überhaupt keine Menge reellen Zahlen, B[0,1] besteht aus Mengen, nicht aus Zahlen.
Mo007

Mo007 aktiv_icon

14:55 Uhr, 09.01.2015

Antworten
Ah, ok. Da habe ich wohl die Definition von B[0,1] völlig falsch verstanden.

Also, dann nochmal:

B[0,1] besteht aus Borelmengen A (wegen AB und B ist ja die σ-Algebra der Borelmengen, für welche gilt A[0,1].

i) Nach Voraussetzung ist Ω=[0,1]. Ω ist als Intervall eine Borelmenge und es gilt Ω=[0,1][0,1]. Daraus folgt: ΩB[0,1].

ii) Sei AB[0,1]. Es ist A=ΩA=[0,1]A. Da nach Voraussetzung A eine Borelmenge ist und A[0,1] gilt, ist auch A eine Borelmenge und es gilt A=ΩA[0,1]. Daraus folgt: A=ΩAB[0,1].

iii) Seien A1,A2,...B[0,1]. Dann sind nach Voraussetzung die AK Borelmengen und es gilt Ak[0,1] für alle k=1,2,... Die Vereinigung von Borelmengen ist wieder eine Borelmenge, also ist k=1Ak eine Borelmenge. Und da ja für alle k=1,2,... gilt Ak[0,1], muss auch k=1Ak[0,1] gelten. Daraus folgt: k=1AkB[0,1].

Damit ist gezeigt, dass B[0,1] eine σ-Algebra auf [0,1] ist.

Ist es so jetzt richtig? Muss ich noch beweisen, dass die Vereinigung von Borelmengen wieder eine Borelmenge ist?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:57 Uhr, 09.01.2015

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"Muss ich noch beweisen, dass die Vereinigung von Borelmengen wieder eine Borelmenge ist?"

Nein, das folgt daraus, dass Borel-Mengen eine σ-Algebra bilden.

Sonst ist alles OK.
Frage beantwortet
Mo007

Mo007 aktiv_icon

15:07 Uhr, 09.01.2015

Antworten
Ok, dann schreib ich das lieber noch dazu.

Vielen vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld!