Mo007 
00:21 Uhr, 07.01.2015
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Frohes neues Jahr allerseits!
Also, ich sitze hier vor einer Aufgabe und hab ehrlich gesagt nicht den blassesten Schimmer, wie ich da ran gehen soll. Wir haben gestern erst mit dem Thema angefangen und ich hab das Gefühl, dass ich da irgendwie noch gar nichts verstanden habe und ich hoffe, ihr könnt mir irgendwie helfen.
Hier erstmal die Aufgabe:
Es sei B die -Algebra der Borelmengen auf und definiert durch
Beweisen Sie, dass eine -Algebra auf [0;1] ist. Beachten Sie, dass nun die Ergebnismenge [0;1] ist, das Komplement also bezüglich dieser Menge zu bilden ist. wird -Algebra der Borelmengen auf [0;1] und auch Spur von B in [0;1] genannt.
So, eine -Algebra hatten wir in der Vorlesung wie folgt definiert:
Sei und F eine Menge von Teilmengen von . Dann heißt F eine -Algebra, falls
i) ii) iii)
Und dann hatten wir noch den folgenden Satz dazu:
Ist F eine -Algebra, so gilt:
1. 2. 3.
Aber wie soll ich denn jetzt mit diesen Informationen zeigen, dass etwas eine -Algebra ist? Ich muss ja sicherlich die Definition und den Satz anwenden aber leider helfen mir diese überhaupt nicht dabei zu verstehen, was eine -Algebra eigentich ist. Ich kann mir darunter momentan überhaupt nichts vorstellen und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe!
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Mo007 
10:16 Uhr, 08.01.2015
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Hat denn keiner eine Idee zu dieser Aufgabe? Ich steh da leider komplett auf'm Schlauch und brauche da wirklich dringend Hilfe. Also, es geht mir vor allem darum zu verstehen, was denn nun eine Sigma-Algebra ist.
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"Also, es geht mir vor allem darum zu verstehen, was denn nun eine Sigma-Algebra ist"
Du hast doch selber die Definition geschrieben. Das ist Sigma-Algebra - eine Ansammlung von Mengen, welche 3 Eigenschaften erfüllt. In Deinem konkreten Fall ist . Und da Du schon weißt, dass Borel-Mengen eine -Algebra bilden, ist Deine Aufgabe absolut trivial. Du musst nur i), ii), iii) nachweisen. i) ist geschenkt, ii) geht so: => ist eine Borel-Menge und liegt in => ist auch eine Borel-Menge und liegt auch in => , iii) geht ähnlich.
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Mo007 
17:24 Uhr, 08.01.2015
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Hallo DrBoogie,
vielen Dank erstmal für deine Antwort. Für mich ist die Aufgabe leider nicht so trivial, weil mir wie gesagt da immernoch das Vorstellungsvermögen fehlt. Nun gut, dann versuch ich mal einfach stur die Definition anzuwenden.
Also, dass hast du einfach aus der Anmerkung unter der eigentlichen Aufgabe genommen, oder? Weil da steht ja, dass die Ergebnismenge [0,1] sein soll.
Bei i) müsste ich ja dann zeigen, dass . Was meinst du jetzt aber mit "i) ist geschenkt"? Kann ich das einfach annehmen oder wie soll ich das verstehen?
Wenn ich bei ii) davon ausgehe, dass , dann ist ja klar, dass gelten muss, weil sonst würde das ja mit der Schnittmenge nicht mehr funktionieren, richtig? Und dass A eine Borelmenge ist, ergibt sich ja aus und B soll ja die Sigma-Algebra der Borelmengen sein. Ok, mir ist auch klar, dass ist. Und da ja , muss auch gelten. Aber warum folgt denn jetzt daraus, dass gilt? ist doch nicht [0,1] sondern eben die Schnittmenge von [0,1] und A. Das mag mir irgendwie nicht einleuchten. :-(
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" Für mich ist die Aufgabe leider nicht so trivial, weil mir wie gesagt da immernoch das Vorstellungsvermögen fehlt."
Was eine allgemeine Borelmenge ist, kann sich eigentlich niemand vorstellen. Aber grob gesagt, sind es einfach "gute" Teilmengen von . Alle Intervalle sind Borelmengen, alle offenen Teilmengen von sind Borelmengen, auch alle geschlossenen Teilmengen von sind Borelmengen und überhaupt ist es sogar sehr schwierig, eine Menge zu konstruieren, die keine Borelmenge ist.
"Also, dass Ω=[0,1] hast du einfach aus der Anmerkung unter der eigentlichen Aufgabe genommen, oder?"
Ich habe das direkt aus der Aufgabenstellung genommen: "Beweisen Sie, dass eine σ-Algebra auf ist." Denn "auf " bedeutet genau, dass .
"Bei i) müsste ich ja dann zeigen, dass . Was meinst du jetzt aber mit "i) ist geschenkt"? Kann ich das einfach annehmen oder wie soll ich das verstehen?"
Du solltest es so verstehen, dass dieser Punkt offensichtlich ist. Für Dich aber anscheinend nicht. Daher Beweis: , weil und eine Borelmenge ist (als ein Intervall).
"Wenn ich bei ii) davon ausgehe, dass , dann ist ja klar, dass gelten muss, weil sonst würde das ja mit der Schnittmenge A∩[0,1] nicht mehr funktionieren, richtig?"
Hälst Du "sonst würde es nicht mehr funktionieren" für eine mathematische Argumentation? ;-) Nein, so kannst Du es nicht begründen. Das geht so: wenn , dann (und nicht , diese Schreibweise ist falsch) nach der Definition von . Zur Erinnerung: besteht aus allen Borelmengen, die gleichzeitig Teilmengen von sind.
"Und dass eine Borelmenge ist, ergibt sich ja aus und soll ja die Sigma-Algebra der Borelmengen sein. Ok, mir ist auch klar, dass ist. Und da ja , muss auch gelten. Aber warum folgt denn jetzt daraus, dass gilt?"
Weil Borelmengen eine -Algebra bilden. Deshalb folgt aus - Borel-menge, dass auch eine Borel-Menge ist. Und da auch eine Teilmenge von ist, liegt in .
" ist doch nicht sondern eben die Schnittmenge von und ."
Das ist nun leider total falsch. ist keine Schnittmenge und und überhaupt keine Menge reellen Zahlen, besteht aus Mengen, nicht aus Zahlen.
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Mo007 
14:55 Uhr, 09.01.2015
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Ah, ok. Da habe ich wohl die Definition von völlig falsch verstanden.
Also, dann nochmal:
besteht aus Borelmengen A (wegen und B ist ja die -Algebra der Borelmengen, für welche gilt .
i) Nach Voraussetzung ist . ist als Intervall eine Borelmenge und es gilt . Daraus folgt: .
ii) Sei . Es ist . Da nach Voraussetzung A eine Borelmenge ist und gilt, ist auch eine Borelmenge und es gilt . Daraus folgt: .
iii) Seien . Dann sind nach Voraussetzung die Borelmengen und es gilt für alle k=1,2,... Die Vereinigung von Borelmengen ist wieder eine Borelmenge, also ist eine Borelmenge. Und da ja für alle k=1,2,... gilt , muss auch gelten. Daraus folgt: .
Damit ist gezeigt, dass eine -Algebra auf [0,1] ist.
Ist es so jetzt richtig? Muss ich noch beweisen, dass die Vereinigung von Borelmengen wieder eine Borelmenge ist?
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"Muss ich noch beweisen, dass die Vereinigung von Borelmengen wieder eine Borelmenge ist?"
Nein, das folgt daraus, dass Borel-Mengen eine -Algebra bilden.
Sonst ist alles OK.
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Mo007 
15:07 Uhr, 09.01.2015
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Ok, dann schreib ich das lieber noch dazu.
Vielen vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld!
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