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Sigma-algebra und Maße
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra
 
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a) Es sei (Ω, A, µ) ein Maßraum. Ferner sei := {A ∪ N | A ⊂ Ω, N ∈ SkriptN }, wobei SkriptN := {N ⊂ Ω | ∃A ∈ SkriptA: µ(A) = 0 und N ⊂ A}. i) Zeigen Sie, dass durch eine σ-Algebra über Ω definiert ist. ii) Zeigen Sie, dass durch : --> [0, ∞] mit (B) := µ(A) (B ∈ , N ∈ N , A ∈ SkriptA, B = A ∪ N) ein Maß auf (Ω, ) definiert ist, so dass |A = µ gilt. b) Es sei die Borel σ-Algebra uber , A ∈ , a ∈ und r > 0. Zeigen Sie, dass a + rA := {a + rx | x ∈ A} ∈ und dass für das Lebegue-Maß die Gleichung (A) = (a + rA) erfüllt ist Hallo liebes Forum, habe obige zwei (für mich mal wieder unverhältnismäßig schwere Aufgaben, im Vergleich zu dem was ich in der dazugehörigen Vorlesung behandelt habe) bekommen und würde mich über konstruktive Hilfe für die Lösung sehr freuen. Dabei sind mir die zu zeigenden Begriffe durchaus klar und ich verstehe diese auch, nur tue ich mich bei den doch recht komplizierten Mengendarstellungen sehr schwer und weiß nicht so recht, wie ich die unterschiedlichen Axiome zeigen kann :-) zu a)i) hier muss gelten, wobei mich die zusätzlich Menge SkriptN, in der das Maß von A=0 ist verwirrt: 1) Ω 2) für D muss sein 3) für eine Folge muss auch die Vereinigung dieser sein aii) hier müssen die Axiome für ein Maß erfüllt sein, heißt: 1) (=0 2) für eine p.d. Folge muss gelten, dass von der Vereinigung dieser Folgen = die Summe von () b) hierbei muss gezeigt werden, dass aus offenen Mengen gebildet wird, wobei mir aber ansonten kaum eine Idee zur Lösung der Aufgabe einfallen will... |
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Kann mir niemand weiterhelfen und zumindest einen Ansatz verraten? Wäre wirklich super, da ich auch nach merhmaligem Versuchen nicht weiterkomme. |
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a) beschreibt die sogenannte Vervollständigung eines Maßraumes. de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndiges_Ma%C3%9F Hier kannst du darüber ausführlicher nachlesen (ab Seite 8-4): www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/anaws11/do1711.pdf |
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b) hier schonmal für den Fall : de.wikiversity.org/wiki/Borel-Lebesgue-Ma%C3%9F/Translationsinvarianz/Textabschnitt Den allgemeinen Fall kann man ganz ähnlich beweisen. Wenn du damit Probleme hast: www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=146496&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F |
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Vielen Dank mal wieder, hast mich mit deinen Links sehr viel weitergebracht und ich denke, dass ich die beiden Aufgabenteile nun recht gut lösen konnte :-) Vielen Dank :-) |
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