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Sigma(offenen Kugeln) = Borel-Sigma-Algebra ???
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: Borel-Sigma-Algebra , metrischer Raum, Sigma(offenen Kugeln) =
 
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Hallo - ich brauche wieder mal eure Hilfe.. Sei ein metrischer Raum und sei , wobei die offenen Kugeln sind. Sei weiters die von erzeugte -Algebra. Die Borel--Algebra ist bekanntlich definiert als die von den offenen Mengen erzeugte -Algebra. Nun ist klar, dass gilt, denn die sind schließlich alle offen. Wenn separabel ist, das heißt eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt, so gilt auch die umgekehrte Inklusion. Denn wenn dicht in liegt, gilt . Im Allgemeinen gilt aber . Ich soll nun einen möglichst einfachen (notwendigerweise nicht separablen) metrischen Raum finden, für den echt kleiner als ist. Mit dieser Aufgabe stehe ich ziemlich an, mir fällt nicht einmal ein nicht separabler Raum ein, den ich ad hoc ohne Funktionalanalysis aufzubessern verstünde. Hat irgendjemand eine Idee? Bin dankbar für jede Hilfe. |
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Okay, ich verstehe mittlerweile, dass der normierte Vektorraum (der damit auch metrischer Raum ist) nicht separabel ist. Die -Kugeln um Punkte kann ich mir auch vorstellen: sieht aus wie ein "offener unendlichdimensionaler Hyperwürfel mit Seitenlänge um den Mittelpunkt . Jetzt müsste ich noch eine allgemeine offene Menge finden (nicht einfach eine Kugel um einen Punkt), die nicht Element der von den -Kugeln erzeugten -Algebra ist. Für diese offene Menge habe ich das Komplement der abgeschlossenen Einheitskugel im Sinn. Allerdings weiß ich jetzt nicht weiter. Wie soll ich zeigen, dass diese Menge nicht in liegt? Vielleicht gibt es ja auch ein viel leichteres Gegenbeispiel als . Liebe Grüße, Florian |
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Ich habe die Lösung selbst gefunden. Falls es jemanden interessiert - hier ist mein einfacheres Gegenbeispiel: Die reellen Zahlen bilden zusammen mit der diskreten Metrik (, wenn und sonst) einen nicht separablen metrischen Raum. Der Raum kann nicht separabel sein, weil sonst eine abzählbare Menge existieren müsste, die dicht in liegt. Das kann aber nicht sein, denn sonst würde für ein im Ball =\{x\} kein Element aus liegen. Jede Teilmenge von ist offen bezüglich dieser Metrik, denn für beliebig gilt trivialerweise . Die -Bälle um beliebige Punkte sind entweder einpunktige Mengen (wie oben) oder (wenn der Radius größer ist) ganz . Damit sieht man, dass die -Kugeln die -Algebra bestehend aus allen abzählbaren Mengen und deren Komplementen erzeugen, während die Borel--Algebra als die von den offenen Mengen erzeugte Algebra , also die ganze Potenzmenge von ist (die offenen Mengen selber waren ja schon ). Daher ist in der Notation von oben echt kleiner. |
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