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Signumfunktion zum Quadrat (komplex)

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Komplexe Zahlen, Quadrieren, Signumfunktion

CarlaColumna aktiv_icon

10:26 Uhr, 20.11.2014

Guten Morgen!

Es seien

a, b \in ℝ, b \neq 0, z := a + j b

sowie

ω := \sqrt{\frac{| z | + a}{2}} + j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{| z | - a}{2}}

Berechnen Sie

ω^{2}

Es ist ja eine binomische Formel der Form:

{(a + b)}^{2}

mit

a := \sqrt{\frac{| z | + a}{2}}

und

b := j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{| z | - a}{2}}

Ich habe also

ω^{2} = {(\sqrt{\frac{| z | + a}{2}} + j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{| z | - a}{2}})}^{2} = \frac{| z | + a}{2} + 2 \cdot \sqrt{\frac{| z | + a}{2}} j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{| z | - a}{2}} - s i g n (b) \cdot \frac{| z | - a}{2}

Stimmt das bis dato? Ich könnte den mittleren Term noch ein wenig zusammenfassen:

\sqrt{\frac{| z | + a}{2}} \cdot \sqrt{\frac{| z | - a}{2}} = \sqrt{\frac{| z | + a}{2} \cdot \frac{| z | - a}{2}} = \sqrt{\frac{{| z |}^{2} - a^{2}}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{| z |}^{2} - a^{2}}

Aber was nun? Ich bin leider mit meinem Latein am Ende, für Hilfe jeglicher Form bin ich überdankbar!

Carla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

11:11 Uhr, 20.11.2014

Es sollte sein:

[

sgn

(b)]^{2}

und

[

sgn

(b)]^{2} = 1

Ersetze

| z |

durch

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

DerDepp aktiv_icon

11:19 Uhr, 20.11.2014

Hossa, rasende Reporterin :-)

Das sieht schon gut aus. Die binomische Formel ist bis dahin richtig. Das letzte

sign (b)

wird aber quadiert, so dass es entweder 0 oder 1 ist:

sign (b) = {\begin{array}{c} 1 & ; b > 0 \\ 0 & ; b = 0 \\ - 1 & ; b < 0 \end{array} \overset{}{\Rightarrow} {[sign (b)]}^{2} = {\begin{array}{c} 1 & ; b \neq 0 \\ 0 & ; b = 0 \end{array}

Daher wird:

ω^{2} = {(\sqrt{\frac{∣ z ∣ + a}{2}} + i \cdot sign (b) \cdot \sqrt{\frac{∣ z ∣ - a}{2}})}^{2}

ω^{2} = \frac{∣ z ∣ + a}{2} + 2 i \cdot sign (b) \cdot \sqrt{\frac{∣ z ∣ + a}{2}} \sqrt{\frac{∣ z ∣ - a}{2}} + i^{2} [sign (b)]^{2} \frac{∣ z ∣ - a}{2}

So weit warst du, bis auf das Quadrat bei der letzten Signum-Funktion. Nun bietet sich die Fallunterscheidung

b = 0

und

b \neq 0

an, um die Signum-Funktion elegant los zu werden:

1. Fall:

b = 0

ω^{2} = \frac{∣ z ∣ + a}{2} = \frac{∣ a ∣ + a}{2} = {\begin{array}{c} a & ; a \geq 0 \\ 0 & ; a < 0 \end{array} = {\begin{array}{c} z & ; a \geq 0 \\ 0 & ; a < 0 \end{array}

2. Fall:

b \neq 0

ω^{2} = \frac{∣ z ∣ + a}{2} + 2 i \cdot sign (b) \cdot \sqrt{\frac{∣ z ∣^{2} - a^{2}}{4}} - \frac{∣ z ∣ - a}{2}

ω^{2} = \frac{∣ z ∣ + a - (∣ z ∣ - a)}{2} + 2 i \cdot sign (b) \cdot \sqrt{\frac{(a^{2} + b^{2}) - a^{2}}{4}}

Da die Wurzelfunktion positiv definiert ist, gilt:

ω^{2} = a + 2 i \cdot sign (b) \cdot ∣ \frac{b}{2} ∣

Signum von b mal Betrag von b ergibt dann wieder b selbst:

ω^{2} = a + i b = z

Wir haben also fast die allgemeine Lösung

ω^{2} = z

. Nur für den Fall

a < 0, b = 0

kommt 0 heraus und nicht z.

Ok?

Respon

11:20 Uhr, 20.11.2014

b \neq 0

CarlaColumna aktiv_icon

11:25 Uhr, 20.11.2014

Hey Respon danke für deine Antwort. Jupp hast natürlich Recht, habe das

{()}^{2}

vergessen bei der Signumfunktion. Jetzt frage ich mich erstmal wieso die Signumfunktion quadriert eins ergibt.

Mit

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Rightarrow {| z |}^{2} = a^{2} + b^{2} (⋆)

Ich habe also

ω^{2} = {(\sqrt{\frac{| z | + a}{2}} + j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{| z | - a}{2}})}^{2} = \frac{| z | + a}{2} + 2 \cdot \sqrt{\frac{| z | + a}{2}} j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{| z | - a}{2}} - {(s i g n (b))}^{2} \cdot \frac{| z | - a}{2}

Verwende

(⋆)

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} + a}{2} + 2 \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} + a}{2}} j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{2}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{2}

Dann fällt der erste und der letzte Term weg und ich habe nur noch:

2 \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} + a}{2}} j \cdot s i g n (b) \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{2}}

Jetzt kann ich wieder das Wurzelgesetz verwenden:

\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} + a}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{2}} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} - a^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{b^{2}}{4}} = \frac{b}{2}

Damit folgt ja dann:

2 \cdot j \cdot \frac{b}{2} \cdot s i g n (b) = j \cdot b \cdot s i g n (b)

Korrekt :-) ?

Respon

11:28 Uhr, 20.11.2014

Und die Lösung ist dann

a + j \cdot

sgn (b)

\cdot b

CarlaColumna aktiv_icon

11:35 Uhr, 20.11.2014

Woher kommt denn das a dann noch her? (Sry der amore hat bei mir zugeschlagen und bin durch den Wind)

Respon

11:37 Uhr, 20.11.2014

Ganz vorne

+ \frac{a}{2}

Ganz hinten

- 1 \cdot (- \frac{a}{2})

Also

\frac{a}{2} - 1 \cdot (- \frac{a}{2}) = a

DerDepp aktiv_icon

11:41 Uhr, 20.11.2014

Vorsicht:
Die Signum-Funktion quadriert ist nur 1, wenn

b \neq 0

ist. Für

b = 0

ist sie 0. Siehe meine vollständige Rechnung...

Respon

12:58 Uhr, 20.11.2014

lt. Aufgabenstellung ist

b \neq 0

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