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Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Differentiation, Folgen und Reihen

Janalp aktiv_icon

12:21 Uhr, 01.05.2018

Hallo zusammen,

ich möchte Hilfe mit einer Aufgabe:

si(x) = sinx/x für x =/0 und 1 für x=0

s i^{(n)} (x) = \frac{1}{x} (s i n^{(n)} x - n s i^{(n - 1)} x)

Zeigen Sie, dass si in 0 unendlich oft differenzierbar ist und bestimmen Sie

s i^{(n)} (0)

für alle

n \in N_{0}

Idee:

\frac{1}{x} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{2 k + 1}

Da sinus unendlich differenzierbar ist, ist die Reihe auch oben unendlich differenzierbar und somit auch für x = 0. Oder meine andere Idee ist:

s i^{(n)} (x) = \frac{1}{x} (s i n^{(n)} x - n s i^{(n - 1)} x) = \frac{1}{x} ((\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1})^{(n)} - n (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{2 k + 1})^{(n - 1)})

Und mit Hilfe der Produktregel und der Tatsache, dass sinus für alle x konvergieren, konvergieren auch beide Reihen für x=0 und

\frac{1}{x}

ist unendlich differenzierbar und somit ist si unendlich differenzierbar an der Stelle 0.

s i^{(n)} (0)

:

Ich habe die erste und zweite Ableitungen betrachtet und natürlich ergeben sich 0/0 für alle Ableitungen und somit für alle n. Aber einen Wert zu bestimmen fehlt mir. Vielleicht ist es eine Fangfrage.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

13:31 Uhr, 01.05.2018

Die Reihe zu nutzen ist eine gute Idee.
Aber es geht einfacher. Du kannst die Reihe als

x \sum_{. . .} . . .

schreiben und dann einfach durch

x

teilen.

Janalp aktiv_icon

14:03 Uhr, 01.05.2018

Aber die Summen sind nicht hoch n-1 und hoch n sondern die n-te Ableitung. Somit dachte ich, dass ich nicht etwas rausziehen darf, weil Ableitungen nicht multiplikativ sind.

DrBoogie aktiv_icon

14:42 Uhr, 01.05.2018

Ja, Ableitungen sind nicht multiplikativ.
Das tut nur gar nichts zu Sache.

\sin (x)

ist überall darstellbar als

\sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

, daher ist

\sin (x) / x

darstellbar als

\sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)!}

,
und dabei ist diese Reihe

= 1

im Punkt

0

.
Daher ist Deine Funktion einfach die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)!}

und jetzt musst Du nur diese Reihe ableiten. Eigentlich auch nicht ableiten, sondern nur argumentieren, dass es unendlich oft geht.

Janalp aktiv_icon

18:03 Uhr, 03.05.2018

Danke Dr. Boogie ich habe den Teil geschafft. Um herauszufinden, was

s i^{n} (0)

ist, muss ich L'Hospital und dann Induktion nutzen? Das Problem ist der Bruch 1/x am Anfang...

DrBoogie aktiv_icon

20:04 Uhr, 03.05.2018

Du hast die Reihe für si(x), also kannst Du die Ableitungen einfach ablesen.
Die Reihe ist doch die Taylor-Reihe in

x = 0

, also die Koeffizienten sind

s i^{(n)} (0) / n!

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