Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Sind Intervalle Elemente der Borel-Algebra?

Sind Intervalle Elemente der Borel-Algebra?

Universität / Fachhochschule

Tags: Algebra, Interv

Schok aktiv_icon

11:40 Uhr, 10.01.2019

Guten Tag zusammen,

wir haben folgende Aufgabe auf zu lösen:
Sollen überprüfen ob die Intervalle

(0,1)

und

[0,1)

Elemente einer Borel-Algebra

B_{1}

sind?

Nun bin ich ganz Ehrlich zu euch ich habe keine Ahnung wie man das macht kann mir da jemand einen Tipp geben?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

12:55 Uhr, 10.01.2019

Der Nachweis hängt entscheidend davon ab, wie ihr konkret die Borel-Sigmaalgebra

B_{1}

definiert habt - da gibt es nahezu unzählige Möglichkeiten dies zu tun, obwohl es am Ende immer um dasselbe Mengensystem geht.

Insbesondere geht es da um das dabei jeweils eingehende Erzeugendensystem. Darauf aufbauend kann man durch Nutzung der in den Eigenschaften der Sigma-Algebra auftretenden Konstrukte (Komplement bzw. abzählbare Vereinigungen) versuchen nachzuweisen, dass die von dir genannten Mengen tatsächlich Borelmengen sind.

Schok aktiv_icon

13:09 Uhr, 10.01.2019

Die Definition war so:
Sei

Ω \neq \emptyset

eine beliebige menge. Dann heißt eine Teilmenge

A \subset P (Ω)

eine

σ

-Algebra in

Ω,

wenn:

σ 1) Ω \in A

σ 2) A \in A \Rightarrow

nichtA

\in A

σ 3) A_{1}, A_{2}, . .

\in A \Rightarrow A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup . .

\in A

.

Jetzt habe ich eine Frage kann man einfach so Argumentieren:

Ω = ℝ

(0,1) = {x | a < x < b}

Zunächst Vereinigt man alle Positiven Intervalle von

[1,2], [2,3], [3,4], . .

. sind abzählbar viele
Ihre Vereinigung gibt dann:

A_{1} = [1, \infty)

Dann erzeugen wir die negativen Intervalle davon:

[0, - 1], [- 1, - 2], [- 2, - 3], . .

. sind abzählbar viele
Ihre Vereinigung gibt dann:

A_{2} = (- \infty, 0]

Wenn man nun

A_{1} \cup A_{2} = (- \infty, 0] \cup [1, \infty)

davon das Komplemente ergibt mein Intervall von

(0,1)

somit wäre das Intervall in dieser

σ

-Algebra.

Doch wie würde man sowas vernünftig aufschreiben mit den Definitionen von oben falls es richtig ist :-D)

LG

HAL9000

15:58 Uhr, 10.01.2019

Ich hab nicht nach der allgemeinen Definition einer Sigma-Algebra gefragt, sondern nach der Definition der konkreten Sigma-Algebra

B_{1}

, insbesondere nach dem Erzeugendensystem von

B_{1}

(also welche Mengen sollen laut Definition da sicher drin sein). Und dazu hast du jetzt leider Null Information geliefert.

Schok aktiv_icon

18:53 Uhr, 12.01.2019

Mhhh... entweder ich hab etwas vergessen aufzuschreiben oder es wurde bei uns nicht Definiert?
Mehr steht da bei uns im Skript nicht

: (

Was bedeutet das nun?
Doch der Prof meinte so wäre es Richtig!
Jetzt fehlen noch die Intervalle

[0,1)

und

(0,1]

das erste ist gefragt das zweite wollte ich dann so machen :-)

Ich schaue das Skript heute Abend nochmal nach! Doch was wäre wenn es nicht Definiert wäre?
LG

HAL9000

18:55 Uhr, 13.01.2019

Herrje, rede ich denn so undeutlich? Man kann die Borel-Sigmaalgebra definieren basierend auf dem Erzeugendensystem

1) der halboffenen Intervale

(- \infty, a]

,

oder

2) der offenen Intervalle

(a, b)

oder

3) der abgeschlossenen Intervalle

[a, b]

,

oder, oder, oder...

Alles, was ich wissen wollte, welche Variante bei euch zutreffend ist - und zwar AUSSCHLIESSLICH erstmal in der Definition, und nicht bereits vermengen mit bereits Folgerungen. Das benötigt man halt, um SAUBER (ohne Zirkelschlüsse) den Beweis aufzuziehen. In deinem Rumgewurstel kann ich beim besten Willen nicht unterscheiden, was bereits laut Erzeugendensystem vorgegeben war von dem, was du laut Sigmaalgebraeigenschaften dann schon gefolgert hast.

Wenn's jetzt immer noch nicht angekommen ist, dann gebe ich endgültig auf.

Schok aktiv_icon

19:36 Uhr, 14.01.2019

Gut dann denke ich du meinst das hier:

B_{1} := < {[a, b] | a, b \in ℝ} >

Ich hoffe das ist es :-)

Tut mir ja echt leid das ich so auf dem Schlauch stehe!

: (

HAL9000

09:13 Uhr, 15.01.2019

OK, es sind also die abgeschlossenen Intervalle [l][a,b][/l], die das Erzeugendensystem hier bilden sollen (schweres Stück Arbeit, dir diese Info endlich zu entlocken).

> Sollen überprüfen ob die Intervalle (0,1) und [0,1) Elemente einer Borel-Algebra

B_{1}

sind?

Eine Möglichkeit ist, diese Intervalle direkt als abzählbare Vereinigung von Mengen aus dem Erzeugendensystem darzustellen, das klappt hier beispielsweise so:

(0, 1) = ⋃_{n = 2}^{\infty} [\frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n}]

[0, 1) = ⋃_{n = 2}^{\infty} [0, 1 - \frac{1}{n}]

Und von mir aus auch noch

(0, 1] = ⋃_{n = 2}^{\infty} [\frac{1}{n}, 1]

.

Schau dir die drei Vereinigungen rechts genau an und versuch zu verstehen/begründen , warum da tatsächlich die links stehenden offenen bzw. halboffenen Intervalle rauskommen.

Schok aktiv_icon

10:18 Uhr, 15.01.2019

Tut mir leid ich bin dir auch echt Dankbar für die Hilfe.

Also das finde ich ja mal super cool wie du das aufgeschrieben hast.

Dürfte man sich das mit dem Grenzwert herleiten?

⋃_{i = 2}^{\infty} \frac{1}{n}

mit dem Grenzwert wäre das:

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n})

und der geht gegen 0.
Damit wäre das gezeigt/erklärt oder ist das wieder Falsch?
Ein anderen Ansatz würde mir hier nicht einfallen sry

: (

Wenn man sich ein paar Intervalle aufschreibt sieht man ja auch da

n

bis

\infty

läuft das der Bruch

\frac{1}{n}, n

im Nenner immer kleiner wird und immer näher an die 0 geht.

Bitte sag mir das es halbwegs richtig ist!

Erstmal wieder Danke :-)

HAL9000

16:56 Uhr, 15.01.2019

⋃_{i = 2}^{\infty} \frac{1}{n}

ist schon syntaktisch grober Unfug - das Vereinigungssymbol ist für Mengen, nicht für Zahlen gedacht.

Betrachten wir Beispiel 2, also

⋃_{i = 2}^{\infty} [0, 1 - \frac{1}{n}]

:

Jede Zahl

x \in [0, 1)

ist in irgendeinem

[0, 1 - \frac{1}{n}]

drin, sofern man nur

n

ausreichend groß wählt, d.h.,

n \geq \frac{1}{1 - x}

. Andererseits sind alle

x < 0

und auch alle

x \geq 1

nicht in der Vereinigung enthalten - damit ist das Ergebnis begründet.

Schok aktiv_icon

17:29 Uhr, 15.01.2019

Vielen Lieben Dank das du mir so gut geholfen hast :-)

Also war ich mal wieder weit vorbei!

LG

1455350

1454636

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?