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Sind alle Tupel und Mengen flach?

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Datentyp, Hierarchie, mengen, Tupel

 
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schwerdy

schwerdy aktiv_icon

11:07 Uhr, 28.10.2010

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Wir haben in Mathe Tupel und Mengen durchgenommen, wobei ich auf Widersprüche zu meinen bisherigen Vorstellungen gestossen bin. Ich muss dazu sagen, dass ich aus der Informatik-Ecke komme und da war ich es gewohnt, dass ein Element immer nur einen bestimmten Typ haben kann. Das n-te Element eines Tupels hat in der Informatik einen festen Typ (zB kann es entweder Skalar sein, ODER selbst wieder ein Tupel oder irgend was anders, aber niemals beides gleichzeitig)

In der Mathe-Vorlesung wurden uns zuerst 2-Tupel vorgestellt, also Tupel mit zwei Elementen. Um n-Tupel zu definieren, wurde behauptet:
(x1,x2,....,xn):=((x1,x2,....xn-1),xn)

Nach meiner Vorstellung ist das aber nicht das gleiche. Links haben wir ein Tupel mit n Elementen, Rechts ein Tupel mit zwei Elementen, wobei das erste Element des rechten Tupels selbst ein Tupel ist (mit n-1) elementen.

Demnach ist zB das erste Element des linken Tupels (nämlich x1) nicht das selbe wie das erste Element des rechten Tupels (nämlich (x1,x2,...,xn-1)).

Trotzdem wurde uns erzählt, dass zwei Tupel nur dann identisch sind, wenn das erste Element des ersten Tupels gleich dem ersten Element des zweiten Tupels ist, außerdem das zweite Element des ersten Tupels gleich dem zweiten Element des zweiten Tupels usw...

Die einzige Möglichkeit, wie ich das akzeptieren könnte, wäre, wenn irgendwo stünde "in der Mathematik sind alle Tupel flach und jedes Element eines Tupels muss vom selben Typ sein", allerdings wurde uns explizit gesagt, dass die Elemente eines Tupels NICHT den gleichen Typ haben müssen.

Kann jemand diesen (hoffentlich nur scheinbaren) Widerspruch aufklären?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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hagman

hagman aktiv_icon

11:29 Uhr, 28.10.2010

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Bei
(x1,...,xn):=((x1,..,xn-1),xn)
handelt es sich nichtum eine Behauptung, sondern um eine Definition. Es gibt alternative Definitionen.
Als Folge dieser Definition gilt der Satz
(1)   (x1,...,xn)=(y1,...,yn)⇔x1=y1∧... ∧yn=yn
Das "einzige" Problem bei solch einer Definition ist, dass man die Länge eines Tupels nicht herauslesen kann, d.h. die Aussage
(2)   (x1,...,xn)=(y1,...,ym)⇒n=m
ist falsch.
Wenn man von Tupeln ausschließlich die Eigenschaft (1) verwendet und nicht auch auf (2) angewiesen ist, kann man also obige rekursive Deifinition durchaus verwenden.
Letztlich basiert dann auf dem Begriff des geordneten Paares.
Schon beim geeordneten Paar git es veschiedene Definitionen, die es auf den Mengenbegriff zurückführen, beispielsweise (a,b):={a,{a,b}} oder auch (a,b):={{∅,{a}},{b}}. Beide Definitionen leisten das wesentliche, nämlich (a,b)=(c,d)≥>a=c∧b=d.
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