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Singulärwertzerlegung Gram-Schmidt-Verfahren

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, Gram-Schmidt

Tana95 aktiv_icon

15:58 Uhr, 18.07.2017

Hallo ihr Lieben,

ich hänge momentan an der Singulärwertzerlegung und komme bei dem Gram-Schmidt-Verfahren nicht weiter. Ich bin bei Schritt

2 :

"Man berechnet

u_{1} = \frac{1}{\sqrt{λ_{1}}} \cdot A \cdot v_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), u_{2} = \frac{1}{\sqrt{λ_{2}}} \cdot A \cdot v_{2} = \frac{1}{3 \cdot \sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix})

. Hier sind

λ_{1}, λ_{2}

jeweils die Nullstellen, wobei auch noch ein weiteres

λ_{3}

existiert, da es sich um eine

3 x 3

Matrix handelt. So weit so gut...aber jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe.
In meinem Beispiel steht jetzt "Ergänze

(u 1, u 2)

zu einer Basis des

R^{4}

durch

(u 1, u 2, e 1, e 2)

. Das Gram-SchmidtVerfahren
liefert dann:

u_{3} = \frac{1}{3 \cdot \sqrt{10}} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ - 2 \\ 6 \\ - 5 \end{matrix})

u_{4} = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

"

Versuche schon die ganze Zeit darauf zu kommen, wie man

u_{3}

und

u_{4}

berechnet. Geht das mit dem Gram-Schmidt-Verfahren und den Einheitsvektoren? Das habe ich nämlich probiert und keine meiner Lösungen von

u_{3}

und

u_{4}

stimmen mit der oben genannten überein.

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte :-)
Grüße Tana95

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

16:31 Uhr, 18.07.2017

Hallo
um 2 Vektoren des

ℝ^{4}

zu irgendeiner Basis zu ergänzen, musst du nur 2 weitere bestimmen, die linear unabhängig untereinander und zu den 2 vorgegebenen sind

hier allerdings wurde nicht irgendeine Basis gesucht, sondern anscheinend eine Orthonormalbasis,

d . h

. du suchst zu den gegebenen

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darauf und aufeinander senkrechte Einheitsvektoren.
Gram Schmitt kannst du verwenden um aus einer beliebigen Basis eine orthogonal zu machen.
Gruß ledum

Tana95 aktiv_icon

16:40 Uhr, 18.07.2017

Danke schon einmal für die schnelle Antwort. Jedoch bin ich nicht wirklich schlauer als vorher...ich weis wie man Gram-Schmidt verwendet, aber das nur auf Aufgabenstellungen wie :"Orthonormalisieren Sie die Vektoren

a_{1} = ..., a_{2}

=...,"usw.

Weist du genau wie der Rechenweg funktioniert um auf den oben genannten

u_{3}

zu kommen? Wäre super wenn mir den jemand zeigen könnte, dann dürfte der

u_{4}

auch kein Problem mehr für mich sein.

Gruß,
Tana95

ledum aktiv_icon

20:48 Uhr, 18.07.2017

Hallo
das hab ich dir doch gesagt:

a)

suche 2 beliebige von

u 1

und

u 2

Lin unabhängige Vektoren,

z

b

e_{1}

und

e_{2}

dann Gramm-Schmitt

b)

suche 2 Vektoren

u 3, u 4

mit

u 1 \cdot u 3 = 0 u 2 \cdot u 3 = 0

dasselbe für

u 4

und

u 3 \cdot u 4 = 0

diese dann noch normieren.
Gruß ledum

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