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Sinus- Kosinusfunktionen
Universität / Fachhochschule
Tags: Funktionentheorie
 
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anonymous 13:11 Uhr, 16.11.2006  |
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Hi. Mein Prof hatte wiedermal die gloreiche idee ne hausübung aufzugeben. Nun hab ich folgendes Prolbem: Ich soll von folgende Sinusfunktion ohne Taschenrechner den exakten Wert angeben: Wie kann ich das am besten lösen??? Vielen Dank für eure Antworten schon im vorraus. Gruß Dennis |
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pi/8 entpricht in gradmaß also 22,5° bevor ich diese aufgabe angehe möchte ich wissen ob du diesen wert numerisch berechnen sollst oder einen exakten wert dafür angeben sollst denn sin(pi/4)=1/2*WURZEL(2) und mit ein paar additionstheoreme kann man auch daraus sin(pi/8) explizit bestimmen, was aber einen etwas längeren ausdruck ergibt |
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Also in der Aufgabenstellung steht: "Berechnen Sie ohne Taschenrechner den exakten Wert!" also denk ich mal so weit vereinfachen wie m�glich oder sogar "genau" eine Zahl. |
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dazu zeig ich erstmal, dass sin(pi/4)=1/2*WURZEL(2) du weißt, dass sin(pi/2)=1 ist dann gibt es das additionstheorem sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) außerdem ist cos(x)=WURZEL(1-sin²(x)) daraus folgt sin(2x)=2*sin(x)*WURZEL(1-sin²(x)) als nächstes muss dies noch nach sin(x) aufgelöst werden sin²(2x)=4*sin²(x)*(1-sin²(x)) sin²(2x)=4*sin²(x)-4*sin^4(x)) als nächstes substitutierst du u=sin²(x) sin²(2x)=4u-4u² u²-u+1/4*sin²(2x)=0 pq formel ergibt u=1/2(1+WURZEL(1-sin²(2x))) oder u=1/2(1-WURZEL(1-sin²(2x))) sin(x)=WURZEL(1/2(1+WURZEL(1-sin²(2x)))) oder sin(x)=-WURZEL(1/2(1+WURZEL(1-sin²(2x)))) oder sin(x)=WURZEL(1/2(1-WURZEL(1-sin²(2x)))) oder sin(x)=-WURZEL(1/2(1-WURZEL(1-sin²(2x)))) algebraisch gesehen hat die gleichung genau vier lösungen, wegen der eindeutigkeit einer funktion aber nur eine und zwar durch ein paar überlegungen müsste es die dritte sein nämlich sin(x)=WURZEL(1/2(1-WURZEL(1-sin²(2x)))) mit diesem additionstheorem kannst du wunderbar sin(pi/8) berechnen dabei berechnet man als erstes sin(pi/4) es ist nämlich sin(pi/4)=WURZEL(1/2(1-WURZEL(1-sin²(pi/2)))) sin(pi/2)=1 daraus folgt sin(pi/4)=WURZEL(1/2(1-WURZEL(0))))=WURZEL(1/2)=1/2*WURZEL(2) als nächstes kann man sin(pi/8) berechnen sin(pi/8)=WURZEL(1/2(1-WURZEL(1-sin²(pi/4)))) sin(pi/4)=1/2*WURZEL(2) und damir auch sin²(pi/4)=1/2 sin(pi/8)=WURZEL(1/2(1-WURZEL(1/2)))=WURZEL(1/2*(1-1/2*WURZEL(2)) =WURZEL(1/4*(2-WURZEL(2))=1/2*WURZEL(2-WURZEL(2)) |
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