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Sinus und Kosinus Gleichungen lösen

Schüler Berufsmaturitätsschule, 8. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Kosinus, Sinus

Atorian aktiv_icon

20:37 Uhr, 02.01.2019

Hallo zusammen

Ich habe mir vorgenommen, dass ich während den Ferien schon vorarbeite in Mathe.

Könnte mir jemand erklären, wie ich das machen kann? Ich kenne mich schon aus mit der Trigonometrie.

Berechnen Sie alle

x

∈

[0; 2 π [,

für die gilt:

cos (2 x + \frac{π}{9}) = 0.5

Die Resultate sind im Bogenmass anzugeben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

23:23 Uhr, 02.01.2019

HALLo

cos (a) = 0,5

für

a = \frac{π}{3}

und

a = 5 \frac{π}{3}

jetzt ist dein

a = 2 x + \frac{π}{9}

damit kannst du

x

bestimmen.
Gruß ledum

Atorian aktiv_icon

22:32 Uhr, 04.01.2019

Ich verstehe nicht, wie du auf diese Werte gekommen bist.

Respon

22:49 Uhr, 04.01.2019

cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

und

cos (\frac{5 \cdot π}{3}) = \frac{1}{2}

In beiden Fällen muss auch noch die Periode berücksichtigt werden.

A)

2 \cdot x + \frac{π}{9} = \frac{π}{3} + 2 \cdot k \cdot π

(k \in ℤ)

2 \cdot x = \frac{2 \cdot π}{9} + 2 \cdot k \cdot π

x = \frac{π}{9} + k \cdot π

k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{9}

k = 1 \Rightarrow x = \frac{10 \cdot π}{9}

B)

2 \cdot x + \frac{π}{9} = \frac{5 \cdot π}{3} + 2 \cdot k \cdot π

(k \in ℤ)

2 \cdot x = \frac{14 \cdot π}{9} + 2 \cdot k \cdot π

x = \frac{7 \cdot π}{9} + k \cdot π

k = 0 \Rightarrow x = \frac{7 \cdot π}{9}

k = 1 \Rightarrow x = \frac{16 \cdot π}{9}

Es gibt also 4 Lösungen.

anonymous

23:12 Uhr, 04.01.2019

Kurz gesagt:

cos (2 \cdot x + \frac{π}{9}) = 0.5

(2 \cdot x + \frac{π}{9}) =

arccos(0.5)

Aber Vorsicht! Der Taschenrechner kann nur einen Ergebniswert ausgeben!
Mach dir am Einheitskreis klar, dass diese Umkehrung mehrere Lösungen hat.
Respon hat dir ja schon Tipps gegeben.

Wenn du das hast, dann:

2 \cdot x + \frac{π}{9} =

arccos(0.5)

2 \cdot x =

arccos(0.5)-pi/9

x =

(arccos(0.5)-pi/9)/2

Atorian aktiv_icon

00:16 Uhr, 05.01.2019

Woher kommt dieses

k

jetzt her?

Atorian aktiv_icon

00:17 Uhr, 05.01.2019

Und noch eine Anmerkung. Ich muss das alles ohne Taschenrechner können.

Respon

00:17 Uhr, 05.01.2019

k

ist der ganzzahlige Faktor für die Periode.

cos (α) = cos (α + 2 \cdot k \cdot π)

Und Taschenrechner brauchst du hier nicht.

. .

. und schon ist er wieder verschwunden.

Atorian aktiv_icon

11:53 Uhr, 05.01.2019

Ich habe in meinem Leben schon viele Gleichungen lösen müssen, aber die Trigonometrischen Gleichungen sind mir ein Rätsel. Wenn man einfach eine neue Variable einführt, bedeutet dass auch, dass man eine Einführung braucht. Was hat es mit dieser Periode auf sich. Könnte mir jemand eine kurze Einführung geben. Ich kann noch nicht nachvollziehen, wie das alles zusammenhängt.

Respon

11:56 Uhr, 05.01.2019

Wenns an der Therorie mangelt, sind solche Aufgaben natürlich nicht leicht.
Lies dir nochmals die Grundlagen in deinen Unterlagen durch oder schau da:
de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus

Atorian aktiv_icon

15:11 Uhr, 05.01.2019

Ich glaube, dass ich mir das ganze nochmals durchlesen werde und ich schliesse vorerst den Beitrag..

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