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Sinus/Cosinus ohne Tschenrechner berechnen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

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22:35 Uhr, 02.07.2010

Hallo, ich hab da eine Aufgabe in der ich den Sinus und Cosinus berechnen soll von 2π/3 und 4π/3. Also sin(2π/3), cos(2π/3), sin(4π/3) und cos(4π/3).

Wie mach ich das? geht das auch irgendwie mit Pythagoras? bei sin(π/3)

z . B

. hab ich mir mit dem Zeichnen eines Dreickes beholfen und dann den Sinus über den Pythagoras-Satz rausbekommen, aber ab nem Winkel von

90

Grad weiß ich nicht weiter...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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23:11 Uhr, 02.07.2010

Am besten merkst du dir die wichtigsten Funktionswerte für sin und cos.

s i n 0 ° = \frac{1}{2} \sqrt{0} = 0

s i n 30 ° = \frac{1}{2} \sqrt{1} = \frac{1}{2}

s i n 45 = \frac{1}{2} \sqrt{2}

s i n 60 ° = \frac{1}{2} \sqrt{3}

s i n 90 ° = \frac{1}{2} \sqrt{4} = 1

s i n 180 ° = 0

s i n 270 ° = - 1

cos ist um 90° verschoben

also

c o s 0 ° = \frac{1}{2} \sqrt{4} = 1

c o s 30 ° = \frac{1}{2} \sqrt{3}

c o s 45 ° = \frac{1}{2} \sqrt{2}

c o s 60 ° = \frac{1}{2} \sqrt{1} = \frac{1}{2}

c o s 90 ° = \frac{1}{2} \sqrt{0} = 0

c o s 180 ° = - 1

c o s 270 ° = 0

Wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist rechne einfach in Grad um oder merk dir das gleiche nochmal fürs Bogenmaß

180° entspricht

π

Umrechnung :

α_{g r a d m a ß} = α_{b o g e n m a ß} \cdot 180 ° / π

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23:39 Uhr, 02.07.2010

Hi, das weiß ich bereits, hab hier so eine Tabelle liegen. Aber ich muss die Aufgabe rechnerisch "mit Hilfe geometrischer Überlegungen wie gleichseitige Dreiecke und Symmetrien" lösen.

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23:53 Uhr, 02.07.2010

Ja wenn du die Tabelle kannst und was mit Winkeln anfangen kannst kannst du das auch so machen.

Zeichne einen Einheitskreis im Koordinatensystem. Also mit Radius 1 um den Ursprung

Dann kannst du bei den gegebenen Winkelwerten Radien in den Kreis einzeichnen.

Dann wird dir die Symmetrie und die Periodizität der Funktionen klar.

Vom Punkt den der Radius am Kreis berührt zeichnest du ein Lot auf die x-Achse. Der x-Wert ist dein cos-Wert und der y-Wert ist dein sin.

Dann wird dir das mit den Vorzeichen und der Wiederholung der Werte wirklich klar.

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00:16 Uhr, 03.07.2010

hm so weit reicht mein Verständnis nun nicht. Ich versuche mal zu erklären wo mein Problem liegt anhand meiner Rechnung von sin(π/3)

Ich hab bei der Aufgabe mit sin(π/3) so gerechnet (Bild im Anhang):

π/3= 60°

da kann man jetzt davon ausgehen dass in meinem Dreieck ein Winkel 90° ist und ein weiterer 30°.

Mein Einheitskreis hat den Radius 1. Die Hypotenuse (am Winkel π/3) hat also die Länge 1. Die Ankathete hat die Länge

0,5

. Jetzt muss die Länge der Gegenkathete bestimmt werden.

Jetzt rechne ich einfach mit dem Pythagoras:

a²+b²=c²

0,5²+b²=1²

\to

0,25+b²=1

\to

b²=0,75

\to b = \frac{1}{2} \sqrt{3}

dann den sinus ausrechnen mit : Gegenkathete/Hypotenuse

(\frac{b}{c})

und Kosinus: Ankathete/Hypotenuse

(\frac{a}{c})

.

Mein Problem ist jetzt aber, dass ich nicht weiß wie ich da das Dreieck bilden soll bei solch großen Winkeln mit 120°, dan ergibt sich halt kein rechter Winkel mehr...gibt's da ne andere Möglichkeit?

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00:34 Uhr, 03.07.2010

Naja das kannst du einfach logisch lösen. Zeichne ein Dreieck mit 60° zwischen Hypotenuse und Ankathete und spiegel das ganze an der y-Achse.

Dass die Länge der Gegenkathete gleich bleibt dürfte einleuchten. Die Länge der Ankathete und damit der Wert des cos wird einfach negativ.

Du berechnest die Werte einfach für den ersten Quadranten und passt die Vorzeichen entsprechend des eigentlichen Quadranten an.

Die Werte entsprechen ja einfach den Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis zu dem dein Radius vom Ursprung aus mit dem entsprechenden Winkel läuft.

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00:57 Uhr, 03.07.2010

ach jetzt leuchtet mir das mit dem Spiegeln endlich ein, vielen Dank für die freundliche Hilfe!

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01:09 Uhr, 03.07.2010

Hab da doch noch ein Problem: wie mach ich das bei sin(4π/3) und cos(4π/3)?

da wäre ja die Hypotenuse

- 1

bzw. die Ankathete

- 0,5,

oder?

dann wäre a²+b²=c²

\to

(-0,5)²+b²= (-1)²

\to

0,5+b²=1², also dasselbe wie bei (π/3). Dann kämen positive Ergebnisse, das kann aber nicht sein, weil ja eigtl. für

cos

und sin negative Ergenisse rauskommen sollten....

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01:31 Uhr, 03.07.2010

Die Vorzeichen passt du ganz zum Schluss an. Dass die Vorzeichen beim Quadrieren flöten gehn ist ja klar :-)

Also das wärn dann 240° oder eben

\frac{4 π}{3}

im Bogenmaß was dir lieber ist

Zeichne dir das mal auf dann siehst du dass der Punkt auf dem Einheitskreis im 3. Quadranten ist.

Im 3. Quadranten ist der sin negativ und der cos positiv.

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01:43 Uhr, 03.07.2010

aber im 3.Quadranten ist der

cos

doch auch negativ, oder nicht? Für cos(4π/3) kommt doch

- \frac{1}{2}

.

da hab ich nämlich mein Problem, im 3.Quadranten ist der die Hypotenuse

= - 1

und die Ankathete=

- 0,5

. Dann kommt ja bei mir was Positives raus...

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02:15 Uhr, 03.07.2010

Sorry mein Fehler, is schon spät :-)

Du hast natürlich Recht

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13:53 Uhr, 03.07.2010

Und wie komme ich jetzt auf die Lösung im 3.Quadranten? Kann mir da jmd. weiterhelfen, hab da immer noch keinen Plan

: (

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14:20 Uhr, 03.07.2010

In dem du eine Zeichnung machst und es verstehst!

Also langsam geb ichs auf. *g*

Woran hängts denn genau? Was leuchtet dir denn nicht ein?

Hast du schonmal einen Graphen von sin und cos gesehn?

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15:01 Uhr, 03.07.2010

also meinst du, ich soll einfach die Ankathete

(- 0,5)

durch die Hypotenuse

(- 1)

teilen? dann kommt

0,5

raus. Und dann einfach in meine Zeichnung schauen und die Vorzeichen entsprechend des 3. Quadranten anpassen, also

- 0,5

? das erscheint mir irgendwie zu einfach...

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16:24 Uhr, 03.07.2010

Lern einfach für cos und sin typische Werte auswending. Das ist wie das kleine Einmaleins das muss sitzen.
Winkel größer 360° erledigst du über die Periodizität.

Wenn dus zwanghaft berechnen willst mach dir eine Skizze auf Papier oder im Kopf, überleg dir welchem Wert das sin oder cos betragsmäßig dem im ersten Quadranten entspräche und setz zum Schluss die Vorzeichen die sich aus der Skizze ergeben.

Zu einfach ist das sicher nicht. Zu einfach gibts nicht.

Du kannst das auch beliebig kompliziert machen.

Ich kann dir nur immer wieder ans Herz legen dir eine Weile alle sin und cos im Einheitskreis zu skizzieren und du entwickelst sehr bald ein Gefühl dafür.
Das Verständnis kommt dann von allein.

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18:05 Uhr, 03.07.2010

ok danke! Ich muss die Aufgabe rechnerisch lösen, einfach aus dem Kopf raus und das Ergebnis aufschreiben oder einfach nur anhand einer Skizze ablesen wird der Aufgabenstellung nicht gerecht. Aber dann mach ichs so wie vorhin beschrieben. Danke für die Hilfestellung.

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