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Sinusfunktion durch 2 Punkte

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Tags: Funktion

joergimann aktiv_icon

10:12 Uhr, 16.10.2009

Hallo.
Vielleicht kann mir jemand helfen.
Ich habe 2 Punkte

x 1, y 1

und

x 2, y 2

Durch diese 2 Punkte möchte ich eine Sinusfunktion legen,
die Sunisfunktion soll bei

x 1, y 1

einen Hochpunkt haben und bei

x 2, y 2

einen Tiefpunkt und zwischen

x 1, y 1

und

x 2, y 2

keinen Hoch bzw.
Tiefpunkt hemr haben.
Wie kann die die Sinusfunktion ermitteln?
Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

10:25 Uhr, 16.10.2009

Hallo Jörg,

Mit deinen Angaben weiß man ja schon genau, wie der Graph liegen muss. Jetzt geht es also nur noch darum, diese "Eigenschaften" per Funktionsgleichung zu realisieren.
Der Graph der Funktion

f : x \mapsto \sin (x)

hat ja ein paar geometrische Parameter wie erstes Maximum oder Periodenlänge.

Tja, der einzige Tipp ist, dass du den Funtionsterm von

f

an die gegebene Situation anpassen musst. Wie, möchte ich nicht einfach so verraten, weil damit die ganze Aufgabe schon gelöst wäre. Tut mir leid, dass ich so um den Brei herum rede, aber bei uns ist das Schulstoff Klasse 10, da fallen gestufte Hilfen vage aus.

Mfg Michael

joergimann aktiv_icon

10:29 Uhr, 16.10.2009

Ja ich weiß das es eher Schulstoff ist.
Stimmt sie Amplitude und die Länge ist bekannt.....
Aber wie komme ich nun ohne Zielwertsuche auf doe Formel. Ich
muss doch sicherlich über

cos ()

ermitteln, das es ein Extrempunkt ist oder?

michaL aktiv_icon

10:45 Uhr, 16.10.2009

Hallo Jörg,

du schriebst:

> Stimmt sie Amplitude und die Länge ist bekannt.....
> Aber wie komme ich nun ohne Zielwertsuche auf doe Formel. Ich
> muss doch sicherlich über cos() ermitteln, das es ein Extrempunkt ist oder?

Äh, nein, das geht in dem Fall auch ohne.

Ok, stufenweise Tipps:

Verändere doch

f : x \mapsto s i n (x)

mal so, dass die Funktion ihre Wendepunkte von der Höhe her genau zwischen

y_{1}

und

y_{2}

hat.

Passe dann den Funktionsterm so an, dass er die richtige Amplitude hat.

Verändere dann den Funktionsterm so, dass das "erste" Maximum bei

x = x_{1}

liegt. Dafür gäbe es mehrere Lösungen, weil das "erste" problematisch ist.

Zu guter Letzt musst du Periode von

2 π

auf

2 (x_{2} - x_{1}

anpassen.

Noch eine Bemerkung zum Schluss: Die Reihenfolge dieser Schritte ist mehr oder minder willkürlich. Wenn du grundsätzlich weißt, wie man jedes einzelne macht, dann basteln wir das schon zusammen.
Ach,ja: Funktionsplotter zum überprüfen ist hier schon sinnvoll.

Mfg Michael

joergimann aktiv_icon

11:18 Uhr, 16.10.2009

Hmm.... nun habe ich versucht in Excel die Funktion

=AMPLITUDE*SIN(PERIODE*x) darzustellen.

Doch leider sieht das nicht so aus wie ich es möchte.

Edddi aktiv_icon

12:47 Uhr, 16.10.2009

...so wie michaL es beschrieben hat, ist's schon richtig...

aber ich vermute, der Fragesteller kann's noch nicht richtig umsezten.

Also, durch den Hochpunkt in

x_{1}

und den Tiefpunkt in

x_{2}

ist die Periode schonmal festgelegt, da es ja genau die halbe Periode ist.

Somit ist

T = 2 \cdot (x_{2} - x_{1})

Die Funktion

sin (x)

hat eine Periode von

2 \cdot Π

Die Funktion

sin (2 \cdot x)

hat eine Periode von

\frac{2 \cdot Π}{2} = Π

Die Funktion

sin (a \cdot x)

hat eine Periode von

\frac{2 \cdot Π}{a}

für die Periode

T = 2 \cdot (x_{2} - x_{1})

ist dein Faktor a also:

T = \frac{2 \cdot Π}{a} = 2 \cdot (x_{2} - x_{1})

somit ist dein a also:

\frac{Π}{x_{2} - x_{1}}

Wir haben jetzt also:

y = sin (\frac{Π}{x_{2} - x_{1}} \cdot x)

jetzt kommt die Verschiebung:

denn diese Sinus-Funktion hat ihr 1. Maximum bei

\frac{1}{4} \cdot T

und das ist also bei

\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot (x_{2} - x_{1}) = \frac{x_{2} - x_{1}}{2}

Dein Maximum soll aber bei

x_{1}

liegen!

Du verschiebst eine Funktion um den Betrag a nach links mittels:

y = f (x + a)

Damit das Maximum also bei 0 liegt musst du

f (x + \frac{T}{4})

rechnen...um das Maximum jetzt auf

x_{1}

zu bringen rechnest du

f (x + \frac{T}{4} - x_{1}) = f (x + \frac{x_{2} - 3 \cdot x_{1}}{2})

Fazit:

Aus

y = sin (\frac{Π}{x_{2} - x_{1}} \cdot x)

wird

y = sin (\frac{Π}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x + \frac{x_{2} - 3 \cdot x_{1}}{2}))

y = sin (\frac{Π}{x_{2} - x_{1}} \cdot (x + \frac{x_{2} - 3 \cdot x_{1}}{2}))

...so, und nun passt du nur noch die Amplitude an....

momentan ist sie für das Maximum bei

+ 1

und für das Minimum bei

- 1

Es soll aber zw.

y_{1}

und

y_{2}

liegen.

Das heist, die Funktion verschiebt sich um

y_{2} + \frac{y_{1} - y_{2}}{2} = \frac{y_{2} + y_{1}}{2}

Mittels

y = f (x) + a

ist die Verschiebung leicht zu realisieren.

Nun noch die Amplitude (statt 1 ist sie

\frac{y_{1} - y_{2}}{2})

anpassen mittels

y = a \cdot f (x)

...die letzten beiden Schritte bekommst du doch allein umgesetzt?

;-)

joergimann aktiv_icon

17:38 Uhr, 16.10.2009

Das hört sich sehr gut an.
Aber

t 14

bzw.

x 12

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