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Sinusteil in Matrixform

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrix, Sinusreihe

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11:10 Uhr, 03.10.2021

Hallo,

ich wollte mich ja wieder melden.

Also, ich betrachte die Matrix-Darstellung des Sinus-Teils für die inversen Restklassen.

Es ist

u_{n} (x, A) = \frac{n - 1}{2} - \sum_{k = 1}^{\frac{n - 1}{2}} \cos (\frac{2 π k}{n} x) + \sum_{j = 1}^{\frac{n - 1}{2}} (\sum_{h = 1}^{\frac{n - 1}{2}} a_{j h} \cot (\frac{h π}{n})) \sin (\frac{2 π j}{n} x)

Für die Modulo-Funktion ist

A

naturgemäß die mit

- 1

multiplizierte Einheitsmatrix.

Wie sieht es aus mit den Matrizen, die zu den inversen Restklassen gehören?

Nun, die Matrizen

A

mit Einträgen

a_{j h}

sind für

n = 3

(\begin{array}{rcl} - 1 \end{array})

n = 5

(\begin{array}{rcl} - \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\ - \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{array})

n = 7

(\begin{array}{rcl} \frac{3}{7} & - \frac{2}{7} & - \frac{6}{7} \\ \frac{6}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & - \frac{6}{7} & \frac{3}{7} \end{array})

n = 11

(\begin{array}{rcl} \frac{2}{11} & \frac{1}{11} & \frac{8}{11} & \frac{6}{11} & - \frac{4}{11} \\ \frac{4}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{6}{11} & \frac{1}{11} & - \frac{8}{11} \\ \frac{6}{11} & - \frac{8}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} \\ \frac{8}{11} & \frac{4}{11} & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} & \frac{6}{11} \\ \frac{1}{11} & \frac{6}{11} & \frac{4}{11} & - \frac{8}{11} & - \frac{2}{11} \end{array})

n = 13

(\begin{array}{rcl} - \frac{2}{13} & - \frac{1}{13} & - \frac{5}{13} & - \frac{7}{13} & - \frac{3}{13} & - \frac{9}{13} \\ \frac{9}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{3}{13} & - \frac{1}{13} & \frac{7}{13} & - \frac{5}{13} \\ \frac{7}{13} & - \frac{3}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{5}{13} & - \frac{9}{13} & - \frac{1}{13} \\ \frac{5}{13} & \frac{9}{13} & - \frac{7}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{1}{13} & \frac{3}{13} \\ \frac{3}{13} & - \frac{5}{13} & \frac{1}{13} & - \frac{9}{13} & - \frac{2}{13} & \frac{7}{13} \\ - \frac{1}{13} & - \frac{7}{13} & - \frac{9}{13} & \frac{3}{13} & \frac{5}{13} & \frac{2}{13} \end{array})

Mir ist aufgefallen, dass die Spalten- und Zeilensummen über die Quadrate der Einträge

1

sind :

1^{2} = 1

{(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{4}{5})}^{2} = 1

{(\frac{2}{7})}^{2} + {(\frac{3}{7})}^{2} + {(\frac{6}{7})}^{2} = 1

{(\frac{1}{11})}^{2} + {(\frac{2}{11})}^{2} + {(\frac{4}{11})}^{2} + {(\frac{6}{11})}^{2} + {(\frac{8}{11})}^{2} = 1

{(\frac{1}{13})}^{2} + {(\frac{2}{13})}^{2} + {(\frac{3}{13})}^{2} + {(\frac{5}{13})}^{2} + {(\frac{7}{13})}^{2} + {(\frac{9}{13})}^{2} = 1

Das führt mich auf die Quadrat-Summen :

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 7^{2}

2^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 9^{2}

1^{2} + 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 8^{2} = 1 1^{2}

1^{1} + 2^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} = 1 3^{2}

1^{1} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 1 1^{2} = 1 5^{2}

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 1 1^{2} = 1 7^{2}

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 1 0^{2} + 1 1^{2} = 1 9^{2}

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 1 0^{2} + 1 2^{2} = 2 3^{2}

Für jedes

n

gibt es höchstens eine Darstellung.

Für

n = 21

und

n > 23

habe ich keine Lösung gefunden.

Jetzt suche ich ein Muster in den oben angegebenen Matrizen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Sukomaki aktiv_icon

16:23 Uhr, 05.10.2021

Ich bin jetzt bei

n = 17

für die Modulo-Matrix angelangt.

Es gibt

2^{(\frac{n - 1}{2})} \cdot (\frac{n - 1}{2})!

Möglichkeiten (alle Vorzeichen und alle Permutationen), für die zu testenden Linearkombinationen.

Das sind hier 10321920.

Und jetzt tritt das Problem auf, dass (selbst mit Datentyp long double) zu einem gegebenen

x

die Linearkombinationen so nahe beisammen liegen können, dass die gesuchte Linearkombination nicht eindeutig bestimmt werden kann.

Hat jemand eine Idee, wie ich damit umgehen kann?

Ich frage, weil ich noch kein Muster in den Matrizen gefunden habe.

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