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Skalares Oberflächenintegral

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Integration

Tags: Integration

roggenfaenger aktiv_icon

11:17 Uhr, 11.07.2015

Hallo,

ich habe Probleme mir die Folgende Fläche vorzustellen und eine geeignete Parameterdarstellung zu wählen:

F := (x, y, x y) \in R^{3} ∣ 0 \leq x^{2} + y^{2} \leq 1

in x,y Ebene beschreibt es einen Kreis mit Radius 1. Die z-Komponente ist 'xy'...
Die Funktion ist

h (x, y, z) = \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} + (z^{2} - x y z)^{2}

Welche Parameterdarstellung für die Fläche würdet ihr nehmen?
Einfache Kugelkoordinaten?

Für ein Tipps wäre ich sehr dankbar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:21 Uhr, 11.07.2015

Hallo,

ich würde erst einmal versuchen das Integral mit kartesischen Koordinaten aufzustellen

- -

also so, wie in der Aufgabe angegeben.

Viele Grüße

roggenfaenger aktiv_icon

11:31 Uhr, 11.07.2015

Und das sieht dann wie aus?
Ich kenne es folgendermaßen:

\int_{f} f (x) d o = \int f (φ (u, v)) ∣ ∣ φ_{u} \times φ_{v} ∣ ∣ d (u, v)

wobei

φ (u, v)

meine Parametrisierung ist.

pwmeyer aktiv_icon

11:55 Uhr, 11.07.2015

Ja, dabei ist

φ (u, v) = (u, v, u \cdot v)

mit dem Definitionsbereich

u^{2} + v^{2} \leq 1

.

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

11:55 Uhr, 11.07.2015

hallo
ich denke Zylinderkoordinaten sind geiegneter.
Gruss ledum

roggenfaenger aktiv_icon

15:14 Uhr, 11.07.2015

Mit Zylinderkoordinaten:

x = r c o s u

y = r s i n u

z = z

φ = (c o s u, s i n u, c o s u * s i n u)^{T}

..macht ja keinen Sinn. Dann wird die partielle Ableitung nach v gleich 'null' sein - und somit das Kreuzprodukt und das gesamte Integral..

oder so:

φ = (v * c o s u, v * s i n u, c o s u * s i n u)^{T}

mit

v \in [0, 1]

und

u \in [0, 2 π]

..?

Danke für Eure Antworten!

ledum aktiv_icon

15:38 Uhr, 11.07.2015

hallo
meine antwort war schlecht, besser wirklich einfach

x = u, y = v z = u \cdot v,

also kartesisch
so sieht deine Flaeche aus zw

x

und

y

aus

(- 1,1)

die linien sind u=x=const und v=y=const
Gruss ledum

roggenfaenger aktiv_icon

09:03 Uhr, 14.07.2015

Danke!
So geht es - ich habe nur noch ein Problem mit den Integrationsgrenzen.

u^{2} + v^{2} \leq 1

\int h (φ (u, v)) ∣ φ_{u} \times φ_{v} ∣ d (u, v)

= \int (\sqrt{1 + u^{2} + v^{2}} + (u^{2} v^{2} - u^{2} v^{2})^{2}) * \sqrt{1 + u^{2} + v^{2}} d (u, v)

= \int ({\sqrt{1 + u^{2} + v^{2}}}^{2} d (u, v)

= \int (1 + u^{2} + v^{2}) d (u, v)

Integriere ich nun u und v jeweils von 0 bis 1?

Urspruenglich galt

0 \leq x^{2} + y^{2} \leq 1

d.h., der Abstand zur eines Punktes zur z-Achse liegt zwischen 0 und 1.
Das heißt aber ja nicht, dass x,y nur im Intervall

x \in [0, 1]

und

y \in [0, 1]

liegen.

pwmeyer aktiv_icon

09:34 Uhr, 14.07.2015

Hallo,

Du kannst jetzt

- bei kartesischen Koordinaten bleiben:

- 1 \leq u \leq 1, - \sqrt{1 - u^{2}} \leq v \leq \sqrt{1 - u^{2}}

- oder Polarkoordinaten nehmen

Gruß pwm

roggenfaenger aktiv_icon

13:26 Uhr, 14.07.2015

Wieso

- 1 \leq u \leq 1

?

Danke für die Hilfe!

roggenfaenger aktiv_icon

22:18 Uhr, 14.07.2015

Mit deinen Integrationsgrenzen und dem Wechsel auf Polarkoordinaten folgt:

\int (1 + u^{2} + v^{2}) d (u, v)

u = r c o s φ

v = r s i n φ

mit

0 \leq r \leq 1, 0 \leq φ \leq 2 π

nicht vergessen: Funktionaldeterminante

\frac{d (u, v)}{d (r, φ)} = . . . = r

\int_{0}^{2} π \int_{0}^{1} (1 + r^{2} c o s^{2} φ + r^{2} s i n^{2} φ) d r d φ

= . . . = \frac{4}{3} π

Danke!

Interessieren würde mich nur noch, wie du auf die Integrationsgrenzen für u gekommen bist (

- 1 \leq u \leq 1

)... :-)

roggenfaenger aktiv_icon

20:12 Uhr, 15.07.2015

Ich muss mich verbessern:

Die Antwort ist

\frac{3}{2} π

das ganze hier nochmal nachgerechnet mit anderer Parametrisierung!

x = r c o s φ

y = r s i n φ

z = x y

Φ (r, φ) = (r c o s φ, r s i n φ, r^{2} c o s φ s i n φ)^{T}

wir wollen berechnen:

\int_{F} h (Φ) ∣ Φ_{r} \times Φ_{φ} ∣ d (r, φ)

∣ Φ_{r} \times Φ_{φ} ∣

Φ_{r} = (c o s φ, s i n φ, 2 r c o s φ s i n φ)^{T}

Φ_{φ} = (- r s i n φ, r c o s φ, - r^{2} s i n^{2} φ + r^{2} c o s^{2} φ)

(hier sorgfältig rechnen; ausklammern; "

c o s^{2} x + s i n^{2} x = 1

Φ_{r} \times Φ_{φ} = (- r^{2} s i n φ, - r^{2} c o s φ, r)^{T}

∣ Φ_{r} \times Φ_{φ} ∣ = \sqrt{r^{4} s i n^{2} φ + r^{4} c o s^{2} φ + r^{2}} = \sqrt{r^{4} + r^{2}} = r \sqrt{1 + r^{2}}

\int_{F} h (Φ) ∣ Φ_{r} \times Φ_{φ} ∣ d (r, φ)

= \int_{F} (\sqrt{1 + r^{2} (c o s^{2} φ + s i n^{2} φ)} + (r^{4} c o s^{2} φ s i n^{2} φ - r^{4} c o s^{2} φ s i n^{2} φ)) r \sqrt{1 + r^{2}} d r d φ

= \int_{F} \sqrt{1 + r^{2}} * r \sqrt{1 + r^{2}} d r d φ

= \int_{F} r + r 3 d r d φ = . . . = \frac{3}{2} π

pwmeyer aktiv_icon

09:57 Uhr, 16.07.2015

Hallo,

zu Deiner Frage wegen

u ...

.

Es ist äquivalent:

u^{2} + v^{2} \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq u \leq 1

und

- \sqrt{1 - u^{2}} \leq v \leq \sqrt{1 - u^{2}}

Davon kannst Du Dich durch eine Grafik oder auch rechnerisch überzeugen.

Gruß pwm

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