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Skalarprodukt Orthonormalbasis
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: Ring
 
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Hey, warum gilt für einen Vektor mit für ein beliebiges Skalarprodukt ? Diese Frage habe ich mir vor dem Hintergrund gestellt, warum ein Endomorphismus selbstadjungiert ist, wenn er eine symmetrische Darstellungsmatrix bzgl. einer Orthogonalbasis besitzt. Die Argumentation in meinem Skript besagt, dass die Gram Matrix des Skalarprodukts "logischerweise" die Einheitsmatrix sein muss. Dass nur Skalare auf der Diagonalen stehen ist mir klar, aber warum nur 1en? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Kattauer, wenn ich mich nicht täusche gilt doch für alle Skalarprodukte: wenn jetzt gilt, ist auch Ist nur so ne Idee... Gruß, smoka |
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€: . mir hat sich grad die Frage aufgetan, ob denn eine Norm zwingend von dem Skalarprodukt induziert sein muss. Dies ist aber nicht der Fall. Dementsprechend passt die obige Argumentation nicht richtig... |
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Ich sagte ja, das ist nur so eine Idee... |
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Hm schade, wäre schön wenn mir heute abend noch jemand andres diese Frage beantworten könnte ;-) |
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Es gibt Normen, die nicht von einem Skalarprodukt induziert werden. Auch auf dem gewöhnlichen gibt es neben der euklidischen Norm noch andere, etwa oder . Obendrein ist auch eine Norm. Ein Norm-1-Vektor hinsichtlich dieser Norm ist gewiss kein Vekore mit . Die Gram-Matrix einer Orthonormalbasis wäre die Einheitsmatrix, die einer allgemeinen Orthogonalbasis nicht. |
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Naja, ich frage mich ja gerade warum die Gram-Matrix bzgl. einer Orthogonalbasis die Einheitsmatrix ist. Warum ist dies so, und zwar für jedes Skalarprodukt? |
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Es ist nicht der Fall. Wenn eine Basis von ist, dann lautet der ,j-Eintrag von ja gerade . Wenn die Basis sogar Ortho-GONAL-basis ist, sind demnach alle wenn . Auf der Diagonalen steht dagegen jeweils . Wenn die Basis schließlich Ortho-NORMAL-basis ist, sind alle und es liegt die Einheitsmatrix vor. Umgekehrt definiert im Fall ja jede Matrix eine Bilinearform . Diese Bilinearform ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn die Matrix symmetrisch und positiv definit ist - im allgemeinen wird die benutzte (nämlich die Standard-)Basis keine Ortogonlabasis, geschweige denn Orthonormalbasis bezüglich des durch gegebenen Skalarproduktes sein. |
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Hm, mein großes Problem ist ja gerade, warum ⟨vi,vi⟩=1 für eine Ortho-NORMAL-basis ist. Der Begriff der Orthonormalbasis geht ja blos von einer Basis aus, für die für und gilt. Skalarprodukt und Norm sind immer noch frei wählbar. Ich habe gestern über Wiki herausgefunden, dass Orthornormalbasen sowieso nur existieren können wenn die Norm durch das Skalarprodukt induziert wird. Dann ist der Fall natürlich klar, weil . (Das ist die Aussage der Parsevalschen Gleichung). Ich habe die Frage ehrlichgesagt auch in einem anderen Forum gestellt und hier schien es jedem sofort klar zu sein, dass sein muss, im Sinne von "Natürlich!". Warum das aber so ist, konnte/wollte mir niemand sagen. Ist das denn so offensichtlich?! |
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