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Skalarprodukt komplexe Zahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: Komplexe Zahlen, Skalarprodukt

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15:41 Uhr, 28.03.2019

Hallo,

ich betrachte gerade einen Beweis der belegt, dass die Definition der Induzierten Norm auch die bedingungen der Norm erfüllt.
Im Verlauf des Beweises kommt die Aussage:

(v+w,v+w)=(v,v)+2Re(v,w)+(w,w)

Nun frage ich mich wie man darauf kommt, dass man nur den Realteil (ich denke mal dafür steht das Re) des Skalarproduktes aus $v$ und $w$ nehmen darf.

Für $ℝ^{3}$ gilt ja:

$(v + w, v + w) =$
$((v_{1}; v_{2}; v_{3}) + (w_{1}; w_{2}, w_{3})) \cdot ((v_{1}; v_{2}; v_{3}) + (w_{1}; w_{2}, w_{3})) =$
${(v_{1}; v_{2}; v_{3})}^{2} + 2 \cdot (v_{1}; v_{2}; v_{3}) \cdot (w_{1}; w_{2}, w_{3}) + {(w_{1}; w_{2}, w_{3})}^{2} =$
$(v, v) + 2 \cdot (v, w) + (w, w)$

$D . h$ . dort steht kein Re().

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

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16:07 Uhr, 28.03.2019

Hallo,
das Skalarprodukt ist im Komplexen hermitesch,
d.h. $(w, v) = \overline{(v, w)} .$
Gruß ermanus

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16:25 Uhr, 28.03.2019

Danke für deine Antwort, das hilft mit leider aber noch nicht weiter.
Warum ist dann der Imaginärteil uninteressant?

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16:28 Uhr, 28.03.2019

$(v + w, v + w) = (v + w, v) + (v + w, w) = (v, v) + (w, v) + (v, w) + (w, w)$ .
Nun fasse die "gemischen Glieder" zusammen mit der von
mir genannten Regel.

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18:08 Uhr, 28.03.2019

$(v, v) + (w, v) + (v, w) + (w, w) = (v, v) + \bar{(v, w)} + (v, w) + (w, w) =$
(v,v)+Re(v,w)-Im(v,w)+Re(v,w)+Im(v,w)+(w,w)=(v,v)+2Re/v,w)

Allerdings ist mir nicht ganz klar wie du von $(v + w, v + w)$ auf $(v + w, v) + (v + w, w)$ kommst :-)

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18:11 Uhr, 28.03.2019

Ein Skalarprodukt ist eine Bilinearform,
also bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten
und bei festgehaltenem zweiten Argument linear im ersten.
Guck dir die Definition eines Skalarproduktes nochmal an!

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18:15 Uhr, 28.03.2019

Hab bereits eine Definition vor mir liegen :-)

Da steht aber zur Linearität nur:
(v,aw+bu)=a(v,w)+b(v,u)
mit $a, b \in K$

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19:49 Uhr, 28.03.2019

OK!
dann ist $(u + v, w) = \overline{(w, u + v)} = \overline{(w, u) + (w, v)} =$
$= \overline{(w, u)} + \overline{(w, v)} = (u, w) + (v, w)$ .
Gruß ermanus

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19:55 Uhr, 28.03.2019

Ok, habe nun eine Erklärung gefunden.
Man kann ja das $v + w$ zussammenfassen und dann kann man die zuletzt gepostete Regel anwenden.

Jedoch sind mitlerweile 2 weitere Fragen aufgetaucht:

1.
$(v - \frac{(v, w)}{(w, w)} w, w) = (v, w) - \frac{(v, w)}{(w, w)} \cdot (w, w)$
Wie kommt man da drauf. Ich hätte jetzt gesagt:
$(v - \frac{(v, w)}{(w, w)} w, w) = (v, w) - (\frac{(v, w)}{(w, w)} w, w)$
aber dann?

2.
$(\frac{(v, w)}{(w, w)} w + z, \frac{(v, w)}{(w, w)} w + z) = \frac{{| (v, w) |}^{2}}{{(w, w)}^{2}} (w, w) + (z, z)$
Wie kommt man da drauf. Ich hätte jetzt gesagt:
$(\frac{(v, w)}{(w, w)} w + z, \frac{(v, w)}{(w, w)} w + z) = (\frac{(v, w)}{(w, w)} w + z, \frac{(v, w)}{(w, w)} w) + (\frac{(v, w)}{(w, w)} w + z, z)$
aber dann?

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20:04 Uhr, 28.03.2019

Bedenke, dass in dem vorhandenen Kontext $(., .)$
ein komplexes Skalarprodukt ist, also vorne linear,
hinten semilinear. Für soetwas solltest du auch eine
Definition haben (positiv definite Sesquilinearform),
im Standardfall: $(x, y) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \overline{y_{i}}$ .

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20:07 Uhr, 28.03.2019

Aber hier kommt ja nirgends eine Summe vor, oder?

Bin gerade ein bisschen verwirrt. xD

ermanus aktiv_icon

20:11 Uhr, 28.03.2019

Zu deiner Frage von 19:55:
$(\cdot, \cdot)$ ist im ersten Argument linear, im zweiten semilinear,
was zur Folge hat, dass $(\cdot, \cdot)$ in beiden Argumenten $ℝ$ -linear ist.
Man kann also sowohl vorne als auch hinten reelle Skalare vor die Klammer ziehen:
z.B. ist $\frac{(v, w)}{(w, w)}$ ist ein solcher reeller Skalar.

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20:18 Uhr, 28.03.2019

".B. ist $\frac{(v, w)}{(w, w)}$ ist ein solcher reeller Skalar."

Woher sieht man, dass das ein REELLER Skalar ist?

EDIT:
Das Skalarprodukt kann doch auch komplexe Skalare liefern, oder?

ermanus aktiv_icon

20:22 Uhr, 28.03.2019

Sorry,
$\frac{(v, w)}{(w, w)}$ ist zwar ein Skalar, aber nicht notwendig reell.
Dass es ein Skalar ist, ist klar, weil die Werte von $(\cdot, \cdot)$
nach Definition im Körper $K$ liegen, also in $ℝ$ oder in $ℂ$ ,
je nachdem ob wir ein komplexes oder reelles Skalarprodukt haben.

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20:27 Uhr, 28.03.2019

$D . h$ . damit kann die Umformung nicht begründet werden?

Ich habe unten mal den Kontext zu den Umformungen vom Beitrag 19:55Uhr angehängt.
Rot ist jeweils das was mir unklar ist.

ermanus aktiv_icon

22:34 Uhr, 28.03.2019

Zum ersten roten Pfeil:
$(v - \frac{(v, w)}{(w, w)} w, w) =$ (Additivität im ersten Argument)
$= (v, w) + (- \frac{(v, w]}{(w, w)} w, w) =$ (Skalar aus erstem Argument vorziehen)
$= (v, w) - \frac{(v, w)}{(w, w)} (w, w) =$ (auf Hauptnenner bringen)
$= \frac{(v, w) (w, w) - (v, w) (w, w)}{(w, w)} = 0$ .

Zum zweiten roten Pfeil:
$(\frac{(v, w)}{(w, w)} w + z, \frac{(v, w)}{(w, w)} w + z) =$ (Additivität)
$= (\frac{(v, w)}{(w, w)} w, \frac{(v, w)}{(w, w)} w) + (\frac{(v, w)}{(w, w)} w, z) + (z, \frac{(v, w)}{(w, w)} w) + (z, z) =$
Skalare aus dem ersten Argument herausziehen:
$= \frac{(v, w)}{(w, w)} (w, \frac{(v, w)}{(w, w)} w) + \frac{(v, w)}{(w, w)} (w, z) + (z, \frac{(v, w)}{(w, w)} w) + (z, z) =$
Skalare aus dem hinteren Argument herausziehen (Vorsicht: hinten konjugiert),
da semilinear:
$= \frac{(v, w)}{(w, w)} \frac{\overline{(v, w)}}{\overline{(w, w)}} (w, w) + \frac{(v, w)}{(w, w)} (w, z) + \frac{\overline{(v, w)}}{\overline{(w, w)}} (z, w) + (z, z) =$ .
$z$ und $w$ sind orthogonal, also $(w, z) = (z, w) = 0$ :
$= \frac{(v, w)}{(w, w)} \frac{\overline{(v, w)}}{\overline{(w, w)}} (w, w) + (z, z) =$
$= \frac{{∣ (v, w) ∣}^{2}}{(w, w)} + {∥ z ∥}^{2} = \frac{{∣ (v, w) ∣}^{2}}{{∥ w ∥}^{2}} + {∥ z ∥}^{2} . . .$

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11:31 Uhr, 29.03.2019

Hi, danke für die ausführliche Antwort.
Und das alles von eimen Schritt auf den anderen.

Eine Frage hätte ich aber noch zur letzten Zeile:
$\frac{(v, w)}{(w, w)} \frac{\bar{(v, w)}}{\bar{(w, w)}} (w, w) + (z, z)$

Und zwar gilt ja, da $z$ paraller zu $z$ ist: $(z, z) = | | z | |$
Weiter gilt $\bar{w, w} = (w, w)$

Aber müsste nicht gelten: $\bar{(v, w)} = (w, v)$ was zu folgendem führen würde:
$\frac{(v, w) (w, v)}{(w, w)} + | | z | |$
Warum ist dann $(v, w) (w, v) = {| (v, w) |}^{2}$ ?

ledum aktiv_icon

12:00 Uhr, 29.03.2019

Hallo
ist dir nich klar, dass $z \bar{z} = {| z |}^{2}$
ledum

HAL9000

12:01 Uhr, 29.03.2019

(erledigt)

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13:01 Uhr, 29.03.2019

Hi,

nein das war mir noch nicht klar. Ich wusste nur, dass für komplexe Zahlen gilt:
$| \bar{z} | = | z |$

Wieder was gelernt :-)

Vielen Dank an alle!!!

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