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Skalarprodukt und normierte Polynome

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Norm, polynom, Skalarprodukt, Vektorraum

Ninad aktiv_icon

17:41 Uhr, 31.08.2015

Hallo,

es geht um folgende Aufgabe: Sei

W

ein euklidischer Vektorraum,

W = ℝ_{\leq 1} [x]

ausgestattet mit dem Skalarprodukt

< p, q > := < p_{1} x + q_{0}, q_{1} x + q_{0} > := α p_{1} q_{1} + β p_{0} q_{o}, α, β \in ℝ_{0}^{+}

und zugehöriger Basis

C := {w_{1} := 3 x + 3, w_{2} := x - 2}

.

Bestimme

α, β

sodass bezüglich

< ., . > w_{1}

und

w_{2}

orthogonal sind und

w_{1}

normiert ist.

Den ersten Teil hab ich schon,

w_{1}

und

w_{2}

orthogonal heißt ja

< ., . > = 0,

also gilt dies für alle

α = 2 β

. Nun zum Teil

w_{1}

normiert. Ein normiertes Polynom heißt ja, dass der Koeffizient vor der Variable mit dem höchsten Grad gleich 1 ist. Aber ich multipliziere

α

ja nur mit den Koeffizienten

p_{1}

und

q_{1},

aber nicht mit dem gesamten Polynom

w_{1}

. Also wie kann ich das Polynom nun normieren? Einfach

α = \frac{1}{3}

? Scheint mir nicht ganz korrekt zu sein...

Viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Skalarprodukt

DrBoogie aktiv_icon

17:46 Uhr, 31.08.2015

"Ein normiertes Polynom heißt ja, dass der Koeffizient vor der Variable mit dem höchsten Grad gleich 1 ist."

Nein, in diesem Fall nicht.
Hier ist gemeint: normiert als Vektor, also normiert bzgl. des Skalarprodukts.
Denn jedes Skalarprodukt definiert eine Norm.

Ninad aktiv_icon

17:52 Uhr, 31.08.2015

Achsoo, ja logisch, dann ist alles klar. Vielen Dank für die schnelle Antwort!

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